【題目】直線x軸交于點A,與y軸交于點B.點Cx軸上一動點,點D為(3,0),拋物線B、CD三點.

1)如圖1所示,若點C與點A關(guān)于y軸對稱.

①求直線BD和拋物線的解析式;

②若點P是拋物線對稱軸上一動點,當(dāng)BP+CP的值最小時,求點P的坐標(biāo);

③若BD與拋物線的對稱軸交于點M,點N在坐標(biāo)軸上,以點NB、D為頂點的三角形與MCD相似,求所有滿足條件的點N的坐標(biāo);

2)如圖2,若BE//x軸,且E4,3),點A1與點A關(guān)于直線BC對稱,當(dāng)EA1的長最小時,直接寫出OC的長.

【答案】1y=x24x+3②點P2,1).0,0),(3,0)或(0,3).(2) OC=

【解析】試題分析:(1)①由直線y=3x+3可得A、B點的坐標(biāo),再根據(jù)A、C關(guān)于y軸對稱得到點C坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可得直線與拋物線的解析式;

②BD與對稱軸的交點即為所求作的點;

③分情況討論即可得;

(2)根據(jù)題意可知當(dāng)點A1落在BE上時,EA1最小,由此即可得.

試題解析:(1①∵直線ly=3x+3x軸交于點A,與y軸交于點B

A﹣1,0),B0,3),

∵點A與點C關(guān)于y軸對稱,

C1,0),

設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,

∵點B0,3),D3,0)在直線BD上,

,解得k=1,b=3,

∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3;

設(shè)拋物線的解析式為:y=ax﹣1)(x﹣3),

∵點B0,3)在拋物線上,

3=a×﹣1×﹣3),

解得:a=1

∴拋物線的解析式為:y=x﹣1)(x﹣3=x2﹣4x+3;

②點C關(guān)于對稱軸的對稱點為D

直線BD的解析式為:y=﹣x+3,

當(dāng)x=2時,y=1

∴點P2,1);

③拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=x﹣22﹣1,

∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標(biāo)為(2,﹣1),

直線BDy=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M,令x=2,得y=1

M2,1),

設(shè)對稱軸與x軸交點為點F,則CF=FD=MF=1,

∴△MCD為等腰直角三角形,

∵以點N、B、D為頂點的三角形與MCD相似,

∴△BND為等腰直角三角形,

如答圖1所示:

I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,

N10,0);

II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點Nx軸負半軸上,

OB=OD=ON2=3,

N2﹣3,0);

III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點Ny軸負半軸上,

OB=OD=ON3=3

N30,﹣3),

∴滿足條件的點N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣30)或(0,﹣3);

2如圖所示,當(dāng)點A1BE上是時,EA1最小,

OB=3,OA=1,根據(jù)勾股定理可得AB= 所以BA1=BA=,

易證明四邊形ACA1B是菱形,所以AC=AB=所以OC=-1.

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