【題目】直線與x軸交于點A,與y軸交于點B.點C是x軸上一動點,點D為(3,0),拋物線
過B、C、D三點.
(1)如圖1所示,若點C與點A關(guān)于y軸對稱.
①求直線BD和拋物線的解析式;
②若點P是拋物線對稱軸上一動點,當(dāng)BP+CP的值最小時,求點P的坐標(biāo);
③若BD與拋物線的對稱軸交于點M,點N在坐標(biāo)軸上,以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點N的坐標(biāo);
(2)如圖2,若BE//x軸,且E(4,3),點A1與點A關(guān)于直線BC對稱,當(dāng)EA1的長最小時,直接寫出OC的長.
【答案】(1)①y=x2﹣4x+3.②點P(2,1).③(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3).(2) OC=.
【解析】試題分析:(1)①由直線y=3x+3可得A、B點的坐標(biāo),再根據(jù)A、C關(guān)于y軸對稱得到點C坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可得直線與拋物線的解析式;
②BD與對稱軸的交點即為所求作的點;
③分情況討論即可得;
(2)根據(jù)題意可知當(dāng)點A1落在BE上時,EA1最小,由此即可得.
試題解析:(1)①∵直線l:y=3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴A(﹣1,0),B(0,3),
∵點A與點C關(guān)于y軸對稱,
∴C(1,0),
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
∴ ,解得k=﹣1,b=3,
∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3;
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵點B(0,3)在拋物線上,
∴3=a×(﹣1)×(﹣3),
解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
②點C關(guān)于對稱軸的對稱點為D,
直線BD的解析式為:y=﹣x+3,
當(dāng)x=2時,y=1,
∴點P(2,1);
③拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標(biāo)為(2,﹣1),
直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1),
設(shè)對稱軸與x軸交點為點F,則CF=FD=MF=1,
∴△MCD為等腰直角三角形,
∵以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,
∴△BND為等腰直角三角形,
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,
∴N1(0,0);
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點N在x軸負半軸上,
∵OB=OD=ON2=3,
∴N2(﹣3,0);
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點N在y軸負半軸上,
∵OB=OD=ON3=3,
∴N3(0,﹣3),
∴滿足條件的點N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);
(2)如圖所示,當(dāng)點A1在BE上是時,EA1最小,
由OB=3,OA=1,根據(jù)勾股定理可得AB= ,所以BA1=BA=
,
易證明四邊形ACA1B是菱形,所以AC=AB=,所以OC=
-1.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式.
(2)求△AOB的面積.
(3)比較y1和y2的大。
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【題目】化簡求值:當(dāng)5x2+x+2=0時,求2(3x+2y)2 -(x+2y)(2y-x) –(12x2y2-2x2y)÷xy的值.
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【題目】如圖:在正方形網(wǎng)格中有一個△ABC,按要求進行下列作圖(只能借助于網(wǎng)格):
(1)畫出△ABC中BC邊上的高AD;
(2)畫出先將△ABC向右平移6格,再向上平移3格后的△A1B1C1;
(3)畫一個△BCP(要求各頂點在格點上,P不與A點重合),使其面積等于△ABC的面積.并回答,滿足這樣條件的點P共________個.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的.連接BE、CF相交于點D.
(1)求證:BE=CF.
(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時,求BD的長.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)為邊BC的中點,DF與對角線AC交于點M,過M作ME⊥CD于點E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的長;
(2)求證:AM=DF+ME.
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【題目】在-3≤x≤0范圍內(nèi),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示.在這個范圍內(nèi),下列結(jié)論:①y有最大值1,沒有最小值;②當(dāng)-3<x<-1時,y隨著x的增大而增大;③方程ax2+bx+c-=0有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A. 0個 B. 1個
C. 2個 D. 3個
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A(2,0),B(0,4),作△BOC,使△BOC與△ABO全等,則點C坐標(biāo)為________________________________.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2,
求:(1)AB的長為________;
(2)S△ABC=________.
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