已知如圖所示,等邊三角形ABC中,AB=2,點P是AB邊上的任意一點(點P可以與A重合,但不與B重合),過點P作PE⊥BC,垂足為E;過點E作EF⊥AC,垂足為F;過點F作FQ⊥AB,垂足為Q,設(shè)BP=x,AQ=y(tǒng).

(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)點P與點Q重合時,探究BP的長度是多少?

(3)當(dāng)線段PE,F(xiàn)Q相交時,探究線段PE,EF,F(xiàn)Q所圍成三角形的形狀,并直接寫出周長的取值范圍.

答案:
解析:

  (1)∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=,AB=BC=CA=2.

  在△BEP中,∵PE⊥BE,∠B=,∴∠BPE=

  而BP=x,∴BE=x,∴EC=2-x.

  在△CFE中,∵∠C=,EF⊥CF,

  ∴∠FEC=,∴FC=1-x.

  同理,在△FAQ中可得AQ=x.

  而AQ=y(tǒng),∴y=x(0<x≤2).

  (2)當(dāng)點P與點Q重合時,有AQ+BP=AB=2,∴x+y=2.

  ∴

  解得x=

  ∴當(dāng)BP的長為時,點P與點Q重合.

  (3)探究:△EFG為等邊三角形.如下圖.

  ∵△ABC為等邊三角形.PE⊥BC,EF⊥AC.

  ∴∠B=∠C=,∠CEF=,∴∠GEF=

  同理∠EFG=,∴△EFG為等邊三角形.

  當(dāng)P,Q重合時,△EFG周長最大;當(dāng)P與A重合時,△EFG的周長最。

  設(shè)三角形EFG的周長為c,得

  ≤c≤

  剖析:(1)利用等邊三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),建立x與y的等式;(2)利用(1)的結(jié)論求解;(3)先探究所圍成三角形的形狀,再根據(jù)探究的三角形的性質(zhì),直接寫出周長變化范圍.


練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,在直線l上依次擺放著七個正方形,已知S1=1,S2=2,S3=3,S4=4,另外三個正方形的邊長分別為a,b,c.
(1)圖中Rt△ABC與
 
全等,所以DE=
 
,a=
AC2+BC2
=
 

(2)用上述(1)中思路求b、c的值.(提示:△ABC與△BDE的斜邊相等,并且有一個角是直角,只需設(shè)一個銳角相等即可)
 

精英家教網(wǎng)

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3
4
3

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(2)將拋物線C繞原點O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′,拋物線C′與x軸的另一交點為A,B為拋物線C′上橫坐標(biāo)為2的點.
①若P為線段AB上一動點,PD⊥y軸于點D,求△APD面積的最大值;
②過線段OA上的兩點E,F(xiàn)分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于點E1,F(xiàn)1,再分別以線段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動,點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動.當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時,求時間t的值.

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(1)求證:AN=BM;
(2)設(shè)AN、BM相交于點D,求證:∠ADB=120°;
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