【題目】如圖,已知ABCD中,∠ABC60°,AB4,BCmEBC邊上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE,作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F

1)若m6,①當(dāng)點(diǎn)F恰好落在∠BCD的平分線上時(shí),求BE的長(zhǎng);

②當(dāng)E、C重合時(shí),求點(diǎn)F到直線BC的距離;

2)當(dāng)點(diǎn)F到直線BC的距離d滿足條件:22≤d≤2+4,求m的取值范圍.

【答案】1)①BE102;②;(244≤m≤8+4

【解析】

1)①過(guò)FFTBCT,延長(zhǎng)BA交∠BCD的平分線于G,連接BFEF,AF,由平行四邊形性質(zhì)可得:△BCG,△CDH均為等邊三角形,AG=AH=2,再由B、F關(guān)于直線AE對(duì)稱,可證得:△CEF∽△GFA,再結(jié)合勾股定理可求得BE的長(zhǎng);
②設(shè)BFACT,過(guò)TTRBCR,過(guò)FFHBCH,過(guò)AAGBCG,可求得BG、AGGH、AC,再由面積法可求得BTBF,再證明△BTR∽△BFH,結(jié)合勾股定理即可求得點(diǎn)F到直線BC的距離;
2)先找出d的最大值的情形,畫出圖形,由d的最大值可求得m的最大值再根據(jù)d的最小值求得m的最小值,即可得m的范圍.

解:(1如圖1,過(guò)FFTBCT,延長(zhǎng)BABCD的平分線于G,連接BF,EF,AF

ABCD,

ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,

∵∠ABC60°,

∴∠BCD120°,ADC60°

CG平分BCD,

∴∠BCGDCG60°

∴△BCGCDH均為等邊三角形,

CGBCBG6G60°,DHCD4,

AGAH2

B、F關(guān)于直線AE對(duì)稱,

AFAB4,EFBE,AFEABC60°,

∴∠AFG+∠CFE120°AFG+∠FAG120°,

∴∠CFEFAG,

∴△CEF∽△GFA,

,即:CFEF,設(shè)BEEFx,則CFx,

∵∠CFT30°

CTCFx,FTx

ET2+FT2EF2,

,

解得:x110+ (不符合題意,舍去),x210

BE102,

如圖2,設(shè)BFACT,過(guò)TTRBCR,過(guò)FFHBCH,過(guò)AAGBCG,連接AFFC,

∵∠AGB90°,ABC60°,

∴∠BAG30°

BG AB2,AG2,GCBCBG4,

AC,

B、F關(guān)于AC對(duì)稱,

BFAC,BTTF,

△ABC面積公式可得BTACAGBC,

BT2×6,

BT,BF,

Rt△BCT中,CT

TRBCBTCT,即6TR

TR,

TRBC,FHBC

TRFH,

∴△BTR∽△BFH

FH2TR,

故點(diǎn)F到直線BC的距離為;

2)如圖3,作AGBCG,

當(dāng)點(diǎn)F、A、G三點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)F到直線BC的距離d最大,

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,FG2 +4

由(1)知,BG2AG2 ,

BF

BHBF,

∵∠BHCBGF90°,CBHFBG,

∴△CBH∽△FBG,

,即,

解得:m8+4 ,

m的最大值為8+4 ,

如圖4,作AGBCGFHBCH,FRAGR,連接AF,

設(shè)BFACT,

AG2 BG2,CGBCBGm-2

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,FH2

顯然,FHGR是矩形,

RGFH2 ARAGRG2,

BF關(guān)于AC對(duì)稱,

BFACBTTF,AFAB4,

RFGH,

BHBG+GH2+ ,

BF

BTTFBF2,

∵△BCT∽△BFH

,即,

解得m4 4,

m的最小值為4 4,

綜上所述,44≤m≤8+4

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1)直接寫出點(diǎn)的實(shí)際意義.

2)問(wèn):甲車出發(fā)幾小時(shí)后發(fā)生故障?

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