【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與DC兩點(diǎn),連接ACBC,已知A(0,3),C(3,0).

(1)求拋物線的關(guān)系式和tanBAC的值;

(2)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)PPQOAy軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

(3)在AB上找一點(diǎn)M,使得OM+DM的值最小,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線解析式:y=x2x+3;tan∠BAC=;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為:(11,36),(),(﹣1,6),(,);(3)M點(diǎn)坐標(biāo)().

【解析】

(1)C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式,解方程組求出m、n的值即可得拋物線的解析式,利用解析式可求出D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線交于A、B兩點(diǎn),解方程組可求得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知△ABC是直角三角形,進(jìn)而可求得tanBAC 的值.(2)設(shè)P(a,a2a+3),根據(jù)QA=ACB=90°可知相似比為3,分別討論點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方和下方兩種情況,根據(jù)相似比求出a的值即可的P點(diǎn)坐標(biāo);(3)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的解析式,作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)O',可求出O′的坐標(biāo)當(dāng)O',M,D三點(diǎn)共線時(shí),OM+DM值最小,連接O'DABM,根據(jù)D、O′坐標(biāo)可求出O'D的析式,結(jié)合AB的解析式求出M的坐標(biāo)即可.

1)∵拋物線y=x2+mx+n過點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)C(3,0).

,

解得:n=3,m=﹣,

∴拋物線解析式:y=x2x+3

當(dāng)y=0時(shí),0=x2x+3

x1=3,x2=2

D點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)

∵拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn)

,

解得: , ;

B點(diǎn)坐標(biāo)(4,1)

A(0,3),C(3,0),B(4,1)

AB=2,BC=,AC=3,

AB2=20,BC2=2,AC2=18

AB2=BC2+AC2

∴∠ACB=90°

tanBAC==,

(2)設(shè)P(a,a2a+3),

若點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方,則PQ=a>0

∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=ACB=90°

,則3AQ=PQ 3[3﹣(a2a+3)]=a

解得a=,a=0(不合題意舍去)

∴點(diǎn)P(

,則AQ=3PQ [3﹣(a2a+3)]=3a

解得:a=0(不合題意舍去),a=﹣1(不合題意舍去)

若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方,且在y軸左側(cè),則PQ=﹣a>0

∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=ACB=90°

,則3AQ=PQ,即3[(a2a+3)﹣3]=﹣a

解得:a=0(不合題意舍去),a=(不合題意舍去)

,則AQ=3PQ [(a2a+3)﹣3]=﹣3a

解得:a=0(不合題意舍去),a=﹣1

∴點(diǎn)P(﹣1,6)

若點(diǎn)P在點(diǎn)A上方,且在y軸右側(cè),則PQ=a>0

∵以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似,且∠PQA=ACB=90°

,則3AQ=PQ,即3[(a2a+3)﹣3]=a

解得:a=0(不合題意舍去),a=,

∴點(diǎn)P(,

,則AQ=3PQ [(a2a+3)﹣3]=3a

解得:a=0(不合題意舍去),a=11,

∴點(diǎn)P(11,36)

綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為:(11,36),(,),(﹣1,6),(,

(3)A(0,3),B(4,1)

∴直線AB的解析式:y=﹣x+3

作點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)O'(,

OM+DM=O'M+DM

根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短,則當(dāng)O',M,D三點(diǎn)共線時(shí),OM+DM值最。

連接O'DABM

O'(,),D(2,0)

O'D解析式:y=12x﹣24

解得:

M點(diǎn)坐標(biāo)(

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科目

頻數(shù)

頻率

語文

0.5

數(shù)學(xué)

12

英語

6

物理

0.2

1)求出這次調(diào)查的總?cè)藬?shù);

2)求出表中的值;

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A. B.

C. D.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線AC的垂線,垂足為D.連接OA,使得以A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得SAOC=SAOQ?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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