Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以邊AB為直徑的⊙O經過點C，E是⊙O上的一點，且∠BEC=45°．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若BE=8cm，sin∠BCE= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）相切，詳見解析；（2）⊙O的半徑為5 cm．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°，再根據(jù)平行四邊形的性質可得AB∥CD，則∠OCD=∠BOC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CD與⊙O相切；

（2）連接AE，根據(jù)圓周角定理及其推論得∠AEB=90°，∠EAB=∠BCE，而sin∠BCE=，則sin∠EAB=，根據(jù)三角函數(shù)的定義易求出AB，即可得到圓的半徑．

解：（1）相切．理由如下：

連接OC，如圖，

∵∠BEC=45°，

∴∠BOC=90°，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD．

∴∠OCD=∠BOC=90°，

∴OC⊥CD．

∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AE，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=，

∴sin∠EAB=，

∴=，

∵BE=8，

∴AB=10，

∴AO=AB=5，

∴⊙O的半徑為5 cm．