Question

【題目】如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長度（0＜t≤3）時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．

將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x2+2x+3．

則點(diǎn)B（1，4）．

（2）

證明：如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 ．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = ．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）

解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= ；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；

①DE為斜邊時(shí)，P1在x軸上，此時(shí)P1與O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO= =tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點(diǎn)是符合條件的P1點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）．

②DE為短直角邊時(shí)，P2在x軸上；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE= ；

而DE= = ，則DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）；

③DE為長直角邊時(shí)，點(diǎn)P3在y軸上；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE= ；

則EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ，OP3=EP3﹣OE= ；

綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣ ）．

（4）

解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．

將A（3，0），B（1，4）代入，得 ，解得 ．

∴y=﹣2x+6．

過點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時(shí)，得x= ，∴F（ ，3）．

情況一：如圖2，

當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，設(shè)△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)S．

則ON=AG=t，過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L．

由△AHG∽△FHM，得 ，即 ．

解得HK=2t．

∴S陰=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t2t=﹣ t2+3t．

情況二：如圖3，

當(dāng) ＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V．

由△IQA∽△IPF，得 ．即 ，

解得IQ=2（3﹣t）．

∵AQ=VQ=3﹣t，

∴S陰= IVAQ= （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．

綜上所述：s= ．

【解析】（1）已知A、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，進(jìn)而能得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）過B作BM⊥y軸于M，由A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長易得，能求出tan∠BAE的值，結(jié)合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得證．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個(gè)條件：①有一個(gè)角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關(guān)系；然后分情況進(jìn)行求解即可．（4）過E作EF∥x軸交AB于F，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在EF之間時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)四邊形；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解．