Question

（2013•鞍山二模）已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，與x軸另一交點為D，與y軸交于點C．
（1）求拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖，連接AC，在拋物線上是否存在點P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，
①點E在運動過程中四邊形OEAF的面積是否發(fā)生變化，并說明理由；
②當(dāng)EF分四邊形OEAF的面積為1：2兩部分時，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)函數(shù)解析式求出點D的坐標(biāo)，從而求出AD的長，再求出AC、AF、DF，然后求出CF的長，求出

DF

CF

，然后根據(jù)∠ACD+∠ACP=45°，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及相似三角形對應(yīng)角相等，設(shè)x軸上的點G，使∠OGC=∠DCF，然后利用待定系數(shù)法求出直線CG的解析式，與拋物線聯(lián)立求解即可；
（3）①根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出直線AB與x軸的夾角是45°，從而得到∠OAF=∠OCE，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠OEC=∠OFA，然后利用“角角邊”證明△OCE和△OAF全等，再根據(jù)全等三角形的面積相等求出四邊形OEAF的面積與△AOC的面積相等，然后列式計算即可得解；
②分情況求出△OEF的面積，再判斷出△OEF是等腰直角三角形，然后利用三角形的面積求出OE²，再根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出直線AC的解析式為y=-x+3，然后設(shè)出點E的坐標(biāo)為（a，-a+3），然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，
∴

9a+3b+3=0 16a+4b+3=1

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴拋物線的關(guān)系式為y=

1

2

x²-

5

2

x+3；

（2）過點D作DF⊥AC于F，
令y=0，則

1

2

x²-

5

2

x+3=0，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
∴點D坐標(biāo)為（2，0），AD=1，
令x=0，則y=3，
∴點C坐標(biāo)為（0，3），
∴OC=OA=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=

OA2+OC2

=

32+32

=3

2

，
AF=DF=

2

2

×AD=

2

2

，
∴CF=AC-AF=3

2

-

2

2

=

5 2

2

，
∴

DF

CF

=

2 2

5 2 2

=

1

5

，
∵∠ACD+∠ACP=45°，
∴設(shè)G（15，0），
則

OC

OG

=

3

15

=

1

5

，
CG與拋物線的交點為點P，
設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b，
則

b=3 15k+b=0

，
解得

k=- 1 5 b=3

，
∴y=-

1

5

x+3，
聯(lián)立

y=- 1 5 x+3 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
解得

x1= 23 5 y1= 52 25

，

x2=0 y2=3

（為點C坐標(biāo)，舍去），
∴點P坐標(biāo)為（

23

5

，

52

25

）；

（3）①∵A（3，0），B（4，1），
∴直線AB與x軸的夾角為45°，
∴∠OAF=45°，
∴∠OAF=∠OCE=45°，
∵四邊形OEAF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠OEC=∠OFA，
在△OCE和△OAF中，

∠OAF=∠OCE=45° ∠OEC=∠OFA OA=OC=3

，
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴S_△OCE=S_△OAF，
∴四邊形OEAF的面積=△OAC的面積=

1

2

×3×3=

9

2

；

②∵EF分四邊形OEAF的面積為1：2兩部分，
∴△OEF的面積為：

9

2

×

1

1+2

=

3

2

或

9

2

×

2

1+2

=3，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=OF，
∴

1

2

OE•OF=

1

2

OE²=

3

2

或3，
∴OE²=3或OE²=6，
易求直線AC的解析式為y=-x+3，
設(shè)出點E的坐標(biāo)為（a，-a+3），
則OE²=a²+（-a+3）²=2a²-6a+9，
（i）OE²=3時，2a²-6a+9=3，
整理得，a²-3a+3=0，
△=（-3）²-4×1×3=-3＜0，
此時方程無解；
（ii）OE²=6時，2a²-6a+9=6，
整理得，2a²-6a+3=0，
解得a=

6± 12

2×2

=

3± 3

2

，
-a+3=-

3+ 3

2

+3=

3- 3

2

，
或-a+3=-

3- 3

2

+3=

3+ 3

2

，
∴點E（

3+ 3

2

，

3- 3

2

）或（

3- 3

2

，

3+ 3

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．