Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（11，﹣）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）連接AC，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）對(duì)稱軸l與⊙C相交，見解析；（3）P（30，﹣2）或（46，100）

【解析】

（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得對(duì)稱軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長(zhǎng)，與到拋物線的對(duì)稱軸的距離相比較即可；

（3）分∠ACP＝90°、∠CAP＝90°兩種情況，分別求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線為y＝a（x﹣11）2﹣，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，8），

∴8＝a（0﹣11）2﹣，

解得a＝，

∴拋物線為y＝＝；

（2）設(shè)⊙C與BD相切于點(diǎn)E，連接CE，則∠BEC＝∠AOB＝90°．

∵y＝＝0時(shí)，x1＝16，x2＝6．

∴A（0，8）、B（6，0）、C（16，0），

∴OA＝8，OB＝6，OC＝16，BC＝10；

∴AB＝＝＝10，

∴AB＝BC．

∵AB⊥BD，

∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，

∴∠EBC＝∠OAB，

∴，

∴△OAB≌△EBC（AAS），

∴OB＝EC＝6．

設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于F．

∵x＝11，

∴F（11，0），

∴CF＝16﹣11＝5＜6，

∴對(duì)稱軸l與⊙C相交；

（3）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+8，

①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，

則直線CP的表達(dá)式為：y＝2x﹣32，

聯(lián)立直線和拋物線方程得，

解得：x＝30或16（舍去），

故點(diǎn)P（30，﹣2）；

當(dāng)∠CAP＝90°時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P（46，100），

綜上，點(diǎn)P（30，﹣2）或（46，100）；