Question

已知：將函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象．
（1）寫(xiě)出這個(gè)新的函數(shù)的解析式；
（2）若平移前后的這兩個(gè)函數(shù)圖象分別與y軸交于O，A兩點(diǎn)，與直線交于C，B兩點(diǎn)．試判斷以A，B，C，O四點(diǎn)為頂點(diǎn)四邊形形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若（2）中的四邊形（不包括邊界）始終覆蓋著二次函數(shù)的圖象一部分，求滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）y=x+2．

（2）四邊形AOCB為菱形；理由如下：
由題意可得：AB∥CO，BC∥AO，AO=2，
∴四邊形AOCB為平行四邊形，易得A（0，2），B（-，1）；
由勾股定理可得：AB=2，
∴AB=AO，故平行四邊形AOCB是菱形．


（3）二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+化為頂點(diǎn)式為：y=（x-b）²+，
∴拋物線頂點(diǎn)在直線y=上移動(dòng)；
假設(shè)四邊形的邊界可以覆蓋到二次函數(shù)，則B點(diǎn)和A點(diǎn)分別是二次函數(shù)與四邊形接觸的邊界點(diǎn)；
將B（-，1）代入二次函數(shù)，
解得b=--，b=-+（不合題意，舍去）；
將A（0，2）代入二次函數(shù)，
解得b=，b=-（不合題意，舍去）；
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍：--＜b＜．
分析：（1）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律即可求得平移后的直線解析式．
（2）根據(jù)（1）題所得直線解析式，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；易求得B、C的坐標(biāo)，由于四邊形OABC的對(duì)邊都平行，因此四邊形OABC首先是個(gè)平行四邊形，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求得AB=2=OA，由此可證得四邊形OABC是菱形．
（3）將所給的拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可得：y=（x-b）²+，由于b值不確定，因此該函數(shù)的頂點(diǎn)在直線y=上左右移動(dòng)；求四邊形覆蓋二次函數(shù)時(shí)b的取值范圍，可考慮兩種情況：
①當(dāng)拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，b的值；
②當(dāng)拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，b的值；
聯(lián)立上述兩種情況下b的取值即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象的平移、平行四邊形及菱形的判定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識(shí)，（3）題中，能夠正確的判斷出拋物線的移動(dòng)范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．