【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線AB與拋物線y=ax2+bx交于點A(6,0)和點B(1,﹣5).
(1)求這條拋物線的表達式和直線AB的表達式;
(2)如果點C在直線AB上,且∠BOC的正切值是,求點C的坐標.
【答案】(1)y=x2﹣6x,y=x﹣6;(2)C(,﹣).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)先說明OA=OH=6,則∠OAH=45°,作輔助線,根據(jù)正切值證明∠BOC=∠OBE,作OB的垂直平分線交AB于C,交OB于F,解法一:先根據(jù)中點坐標公式可得F(),易得直線OB的解析式為:y=﹣5x,根據(jù)兩直線垂直的關系可得直線FC的解析式為:y,列方程x﹣6,解出可得C的坐標;
解法二:過C作CD⊥x軸于D,連接OC,設C(m,m﹣6),根據(jù)OC=BC,列方程可得結論.
(1)把點A(6,0)和點B(1,﹣5)代入拋物線y=ax2+bx得:
,解得:,∴這條拋物線的表達式:y=x2﹣6x,設直線AB的解析式為:y=kx+b,把點A(6,0)和點B(1,﹣5)代入得:,解得:,則直線AB的解析式為:y=x﹣6;
(2)當x=0時,y=6,當y=0時,x=6,∴OA=OH=6.
∵∠AOH=90°,∴∠OAH=45°,過B作BG⊥x軸于G,則△ABG是等腰直角三角形,∴AB=5,過O作OE⊥AB于E,S△AOHAHOEOAOH,6OE=6×6,OE=3,∴BE=AB﹣AE=5,Rt△BOE中,tan∠OBE.
∵∠BOC的正切值是,∴∠BOC=∠OBE,∴OC=CB.作OB的垂直平分線交AB于C,交OB于F,解法一:∵B(1,﹣5),∴F(),易得直線OB的解析式為:y=﹣5x,設直線FC的解析式為:yx+b,把F()代入得:b,b,∴直線FC的解析式為:yx﹣6,x,當x時,y,∴C();
解法二:過C作CD⊥x軸于D,連接OC,設C(m,m﹣6),則AC(6﹣m).
∵OC=BC,∴m2+(m﹣6)2=[5(6﹣m)],m,∴C().
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【題目】如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D,過D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)證明:DE為⊙O的切線;
(2)連接OE,若BC=4,求△OEC的面積.
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【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,點D是⊙O 上一點,⊙O的切線CB與AD的延長線交于點B,點F是直徑AC上一點,連接DF并延長交⊙O于點E,連接AE.
(1)求證:∠ABC=∠AED;
(2)連接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的長.
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對稱軸為直線x=﹣1,下列結論正確的有_____(填序號).
①若圖象過點(﹣3,y1)、(2,y2),則y1<y2;
②ac<0;
③2a﹣b=0;
④b2﹣4ac<0.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的弦,C是的中點,聯(lián)結OA,AC,如果∠OAB=20°,那么∠CAB的度數(shù)是_____.
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【題目】如圖,某興趣小組用無人機進行航拍測高,無人機從1號樓和2號樓的地面正中間B點垂直起飛到高度為50米的A處,測得1號樓頂部E的俯角為60°,測得2號樓頂部F的俯角為45°.已知1號樓的高度為20米,則2號樓的高度為_____米(結果保留根號).
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
| ﹣4 | ﹣4 | 0 | … |
(1)求該拋物線的表達式;
(2)已知點E(4, y)是該拋物線上的點,點E關于拋物線的對稱軸對稱的點為點F,求點E和點F的坐標.
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【題目】周末小明約上小亮一起到馬山公園游玩,如圖所示,小明從家(A點)出發(fā),沿著北偏西60°方向的道路行走2千米到達小亮家(B點),然后兩人再沿著北偏東45°方向一起去馬山公園(C點),到達馬山公園后小明發(fā)現(xiàn)自己家(A點)正好在馬山公園(C點)的正南方向,求小明家(A家)到馬山公園(C點)的距離.
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【題目】如圖是臨時暫停修建的一段鄉(xiāng)村馬路,高的一邊已經(jīng)修好,低的一邊才剛做好路基.一輛汽車在高的一邊沿箭頭方向行駛時偏離了正常行駛路線后停止,但一側的兩個輪子已經(jīng)駛入低的一邊,經(jīng)檢查,地板AB剛接觸到高的一邊的路面邊緣P,已知AB=130 cm,輪子A、B處在地板以下部分與地面的距離AC=BD=30 cm,兩路面的高度差為50 cm.設路面是水平的,則PC的長是____________ cm.
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