【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經(jīng)過(guò)邊BC的中點(diǎn)D,并與邊AC相交于另一點(diǎn)F.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若AB=,E是半圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AE,AD,DE.
填空:
①當(dāng)的長(zhǎng)度是____________時(shí),四邊形ABDE是菱形;
②當(dāng)的長(zhǎng)度是____________時(shí),△ADE是直角三角形.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①;②π或π.
【解析】
試題分析:(1)證明:如圖1,連接OD,∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,∴AB=BC,∵D是BC的中點(diǎn),∴BD=BC,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODB=∠BAO=90°,即OD⊥BC,∴BD是⊙O的切線.
(2)①當(dāng)DE⊥AC時(shí),四邊形ABDE是菱形;如圖2,設(shè)DE交AC于點(diǎn)M,連接OE,則DE=2DM,∵∠C=30°,∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,∵∠BAC=90°,∴DE∥AB,∴四邊形ABDE是平行四邊形,∵AB=BD,∴四邊形ABDE是菱形;∵AD=BD=AB=CD=BC=,∴△ABD是等邊三角形,OD=CDtan30°=1,∴∠ADB=60°,∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,∴∠AOE=2∠ADE=120°,∴的長(zhǎng)度為: =π;故答案為:;
②若∠ADE=90°,則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,此時(shí)的長(zhǎng)度為: =π;若∠DAE=90°,則DE是直徑,則∠AOE=2∠ADO=60°,此時(shí)的長(zhǎng)度為: =π;∵AD不是直徑,∴∠AED≠90°;綜上可得:當(dāng)的長(zhǎng)度是π或π時(shí),△ADE是直角三角形.故答案為:π或π.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A看一棟大樓頂部B的俯角為,看這棟大樓底部C的俯角為,熱氣球A的高度為270米,則這棟大樓的高度為______米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以點(diǎn)A為圓心,1為半徑作圓,E是⊙A上的任意一點(diǎn),將點(diǎn)E繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F,則線段AF的長(zhǎng)的最小值_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0).
(Ⅰ)正方形AOBC的邊長(zhǎng)為 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
(Ⅱ)將正方形AOBC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,點(diǎn)A,B,C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,B′,C′,求點(diǎn)A′的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積;
(Ⅲ)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿折線OACB方向以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),沿折線OBCA方向以2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)它們相遇時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)△OPQ為等腰三角形時(shí),求出t的值(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)嘗試探究
如圖①,在中,,,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且.
①的值為多少;②直線與直線的位置關(guān)系;
(2)類比延伸
如圖②,若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),連接,,則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,請(qǐng)判斷的值及直線 與直線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)拓展運(yùn)用
若,,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng),,三點(diǎn)在同一直線上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(2,﹣3),并且以x=1為對(duì)稱軸.
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)作出二次函數(shù)的大致圖象;
(3)在對(duì)稱軸x=1上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB中PA=PB?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角角坐標(biāo)系中,直線與雙曲線交于A,C兩點(diǎn),AB⊥OA交x軸于點(diǎn)B,且OA=AB.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE=BF,連接AE、AF、EF.
(1)求證:△ADE≌△ABF;
(2)若BC=12,DE=5,求△AEF的面積.
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