【題目】如圖①,△ABC的角平分線BD、CE相交于點P.
(1)如果∠A=70°,求∠BPC的度數(shù);
(2)如圖②,過P點作直線MN∥BC,分別交AB和AC于點M和N,試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)(用含∠A的代數(shù)式表示);
① ② ③ ④
在(2)的條件下,將直線MN繞點P旋轉(zhuǎn).
(ⅰ)當直線MN與AB、AC的交點仍分別在線段AB和AC上時,如圖③,試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明你的理由;
(ⅱ)當直線MN與AB的交點仍在線段AB上,而與AC的交點在AC的延長線上時,如圖④,試問(ⅰ)中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請說明你的理由;若不成立,請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明你的理由.
【答案】(1)125°;(2)∠MPB+∠NPC=90°-∠A;(3)∠MPB+∠NPC= 90°-∠A,∠MPB-∠NPC=90°-∠A.
【解析】
試題(1)由三角形內(nèi)角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A,由角平分線的性質(zhì)可知及三角形內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù);
(2)利用平行線的性質(zhì)求解或先說明∠BPC=90°+∠A;
(3)(ⅰ)先說明∠BPC=90°+∠A,則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A;(ⅱ)不成立,∠MPB-∠NPC=90°-∠A.理由:由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°,由(ⅰ)知:∠BPC=90°+∠A,因此∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.
試題解析::(1)∵在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∵∠1=∠ABC,
∠2=∠ACB,
∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)
=×110°=55°,
∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)=180°-55°=125°;
(2)由(1)可證∠BPC=90°+∠A,
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A;
(3)(ⅰ)∠MPB+∠NPC= 90°-∠A.
理由:先說明∠BPC=90°+∠A,則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A;
(ⅱ)不成立(1分),∠MPB-∠NPC=90°-∠A(1分).
理由:由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°,由(ⅰ)知:∠BPC=90°+∠A,
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.
考點: (1)平行線的性質(zhì);2.角平分線的性質(zhì);3.三角形內(nèi)角和.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動,第一秒它從原點跳動到點(0,1),第二秒它從點(0,1)跳到點(1,1),然后接著按圖中箭頭所示方向跳動[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],每秒跳動一個單位長度,那么30秒后跳蚤所在位置的坐標是___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD中,AB=6,第1次平移將長方形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位,得到長方形A1B1C1D1,第2次平移將長方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位,得到長方形A2B2C2D2,…,以此類推,第n次平移將長方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向向右平移5個單位,得到長方形AnBnCnDn(n>2),則ABn長為 ( )
A. 5n+6B. 5n+1C. 5n+4D. 5n+3
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【題目】超越公司將某品牌農(nóng)副產(chǎn)品運往新時代市場進行銷售,記汽車行駛時為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時).根據(jù)經(jīng)驗,v,t的一組對應(yīng)值如下表:
v(千米/小時) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
t(小時) | 4.00 | 3.75 | 3.53 | 3.33 | 3.16 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關(guān)于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式;
(2)汽車上午7:30從超越公司出發(fā),能否在上午10:00之前到達新時代市場?請說明理由.
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【題目】閱讀材料,回答問題
一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行,途中接到臺風(fēng)警報,臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動,距臺風(fēng)中心20 海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風(fēng)區(qū),當輪船到A處時,測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方向B處,且AB=100海里.
(1)若這艘輪船自A處按原速度和方向繼續(xù)航行,在途中會不會遇到臺風(fēng)?若會,試求輪船最初遇到臺風(fēng)的時間;若不會,說明理由;
(2)現(xiàn)輪船自A處立即提高船速,向位于北偏東60°方向,相距60海里的D港駛?cè),為使臺風(fēng)到來之前,到達D港,問船速至少應(yīng)提高多少(提高的船速取整數(shù), ≈3.6)?
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【題目】已知:如圖,四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H,順次連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點四邊形).
(1)四邊形EFGH的形狀是_____,證明你的結(jié)論;
(2)當四邊形ABCD的對角線滿足_____條件時,四邊形EFGH是矩形(不證明)
(3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形?_____(不證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將△ABC沿著某一方向平移一定的距離得到△MNL,則下列結(jié)論中正確的有( )
①AM∥BN;②AM=BN;③BC=ML;④∠ACB=∠MNL。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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