Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的解析式為：y＝kx+x﹣k+1，若將直線l繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．如圖所示，當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到l1位置時(shí)，k＝2且l1與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C；當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到l2位置時(shí)，k＝﹣且l2與y軸交于點(diǎn)D

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，連接CD計(jì)算△ADC的面積；

（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)E，其坐標(biāo)滿足條件E（a，a），當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A距離最小時(shí)，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）；（2）B（0，﹣1）、C（，0）、D（0，），；（3）a＝

【解析】

（1）將k＝2和k＝代入直線的解析式，得到關(guān)于x、y的方程組，然后解方程組可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連接DC．先求得點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，然后依據(jù)S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC求解即可；

（3）過點(diǎn)A作直線y＝x的垂線，垂足為E，過點(diǎn)A作AF∥y軸，過點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為G．先求得AF的值，然后由△AEF為等腰直角三角形，從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，故此可得到a的值．

（1）當(dāng)k＝2時(shí)，y＝3x﹣1，

當(dāng)k＝﹣時(shí)，y＝x+．

解方程組，

得：，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．

（2）連接DC．

將x＝0代入y＝3x﹣1得：y＝﹣1，

∴B（0，﹣1）．

將y＝0代入y＝3x﹣1得：3x﹣1＝0，解得：x＝．

∴C（，0）．

將x＝0代入y＝x+得：y＝，

∴D（0，）．

∴BD＝，OC＝．

∴S△ADC＝S△ADB﹣S△BDC＝××1﹣×．

（3）∵E（a，a），

∴點(diǎn)E在直線y＝x上．

如圖所示：過點(diǎn)A作直線y＝x的垂線，垂足為E，過點(diǎn)A作AF∥y軸，過點(diǎn)E作EG⊥AF，垂足為G．

將x＝1代入y＝x得：y＝1，

∴AF＝2﹣1＝1．

∵點(diǎn)E在直線y＝x上，

∴∠AFE＝45°，

∴△AEF為等腰直角三角形．

∵EG⊥AF，

∴AG＝FG＝，

∴E的縱坐標(biāo)＝1+＝．

∴a＝．