Question

已知，在平面直角從標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C（m，6）為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)．將△AOB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A′O′B處．

（1）求m的值；

（2）若O′落在OC上，連接AA′交OC與D點(diǎn)．①求證：四邊形ACA′O′為平行四邊形； ②求CD的長(zhǎng)度；

（3）直接寫出當(dāng)AO′最短和最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值．

【專題】綜合題．

【分析】（1）只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可解決問題；

（2）①過點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1，易證AC=OA=O′A′，要證四邊形ACA′O′為平行四邊形，只需證AC∥O′A′，只需證∠ACO=∠A′O′C即可；

②由平行四邊形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)AO′最短（如圖2），當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)AO′最長(zhǎng)（如圖3）；過點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，易證△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

【解答】解：（1）∵C（m，6）為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

∴m==2；

（2）①過點(diǎn)C作CH⊥y軸與H，如圖1．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，6），

∴CH=2，OH=6，

∴tan∠COH==，AC==4，

∴∠COH=30°，OA=AC，

∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．

∵BO′=BO，

∴∠BO′O=∠BOO′=60°．

∵∠A′O′B=∠AOB=90°，

∴∠CO′A′=30°，

∴∠ACO=∠CO′A′，

∴AC∥O′A′．

又∵O′A′=OA=AC，

∴四邊形ACA′O′為平行四邊形；

②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，

∴△BOB′是等邊三角形，

∴OO′=OB=2．

∵∠CHO=90°，CH=2，OH=6，

∴OC=4，

∴CO′=OC﹣OO′=4﹣2．

∵四邊形ACA′O′為平行四邊形，

∴CD=O′D=CO′=2﹣1；

（3）當(dāng)AO′最短時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2+，），當(dāng)AO′最長(zhǎng)時(shí)A′點(diǎn)的坐標(biāo)（2﹣，﹣）．

提示：①當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB上時(shí)，AO′最短，

過點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，如圖2．

∵O′N∥OA，

∴△BNO′∽△BOA，

∴==，

∴==，

∴BN=，O′N=．

∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，

∴∠MA′O′=∠NO′B，

∴△A′MO′∽△O′NB，

∴==2，

∴A′M=，O′M=，

∴A′（2﹣+， +）即（2+，）；

②當(dāng)點(diǎn)O′在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AO′最長(zhǎng)，

過點(diǎn)O′作O′N⊥x軸于N，過點(diǎn)A′作A′M⊥O′N于M，如圖3．

同理可得：A′（2﹣，﹣）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識(shí)，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解決第（2）②小題的關(guān)鍵，構(gòu)造K型相似是解決第（3）小題的關(guān)鍵．