把兩個全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖1),且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖2).在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關系?四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
【答案】分析:利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),圖形的形狀和大小不變,可以得到角的度數(shù)沒有變化,進一步可以得到∠BGF=∠BGE,得證△BGH≌△CGK,全等三角形的面積相等,則四邊形CHGK的面積等于△BGC的面積,所以四邊形CHGK的面積不變.
解答:解:在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH=CK,四邊形CHGK的面積不變.
證明:
∵△ABC為等腰直角三角形,G(O)為其斜邊中點,
∴CG=BG,CG⊥AB,且S△BCG=S△ABC
∴∠ACG=∠B=45°.
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角,
∴∠BGH=∠CGK.
在△BGH和△CGK中,
∴△BGH≌△CGK.
∴BH=CK,
S△BGH=S△CGK
∴S四邊形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△BCG=S△ABC=××4×4=4.
即:旋轉(zhuǎn)過程中,BH=CK,S四邊形CHGK的面積為4,是一個定值,在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化.
點評:本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定的綜合運用,難度中上.
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(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關系四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,設BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的
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(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關系四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
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