Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)DM，DM與AC交于點(diǎn)G，點(diǎn)E，F分別是CD與DG上的點(diǎn)，連結(jié)EF，

(1)求證：CG=2AG.

(2)若DE=6，當(dāng)以E，F，D為頂點(diǎn)的三角形與△CDG相似時(shí)，求EF的長(zhǎng).

(3)若點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)G出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)，另一個(gè)隨即停止運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求四邊形CEFG的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) EF=；(3)S四邊形CEFG最小=52.

【解析】

(1)利用矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，可證得∠DCG=∠MAG，,∠CDG=∠AMG，△AGM∽△CGD，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得比例線段，然后證明DC=AB=2AM，即可證得CG與AG的數(shù)量關(guān)系.

(2)利用勾股定理，分別求出AC、DG的長(zhǎng)，再分情況討論：①當(dāng)∠DEF=∠DCG時(shí)，△DEF∽△DCG；②當(dāng)∠DEF=∠DGC時(shí)，△DEF∽△DGC，分別利用相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出EF的長(zhǎng).

(3)作GH⊥DC，FN⊥DC，易證△DNF∽△MAD，可證對(duì)應(yīng)邊成比例，求出NF的長(zhǎng)，再根據(jù)S四邊形CEFG=S△DCG-S△DEF，可得到S與t的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出四邊形CEFG的面積的最小值.

證明：(1)在矩形ABCD中，AB∥DC,

∴∠DCG=∠MAG,∠CDG=∠AMG,

∴△AGM∽△CGD,

∴

∵點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),

∴DC=AB=2AM,

∴=2，CG即CG=2AG

(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AC=,

由(1)得CG=2AG，CG=AC=4，同理可得DG=10

①當(dāng)∠DEF=∠DCG時(shí),△DEF∽△DCG

∴ 即 ,解得EF=

②當(dāng)∠DEF=∠DGC時(shí),△DEF∽△DGC

∴ ,即 ,解得EF=

(3)作GH⊥DC,FN⊥DC,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則DF=DG-FG=10-t，DE=2t，

∵∠DNF=∠DAM,∠NDF=∠AMD,

∴△DNF∽△MAD

∴ 即 ，解得NF=

∵S四邊形CEFG=S△DCG-S△DEF

∴當(dāng)t=5時(shí)，S四邊形CEFG最小=52