25、如圖是一塊含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開(kāi)始(即N點(diǎn)的讀數(shù)為0),現(xiàn)有射線CP繞著點(diǎn)C從CA順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與△ACB外接圓相切為止.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,射線CP與量角器的半圓弧交于E.
(1)當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí),求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少?
(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí),連接BE,求證:BE=CE.
分析:(1)連接OC.根據(jù)切線的性質(zhì),得∠OCP=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得∠ACO=∠A,從而求得射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù).
(2)當(dāng)CP過(guò)△ABC外心時(shí)(即過(guò)O點(diǎn))時(shí),∠BCE=60°,根據(jù)圓周角定理,則點(diǎn)E處的讀數(shù)是120°;
當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí),即CP平分∠ACB,則∠BCE=45°,根據(jù)圓周角定理,則點(diǎn)E處的讀數(shù)是90°.
(3)根據(jù)已知,知旋轉(zhuǎn)了15°,即可求得∠EBC=∠BCE=75°,從而證明結(jié)論.
解答:解:(1)連接OC.
∵射線CP與△ABC的外接圓相切,
∴∠OCP=90°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°;

(2)∵∠BCA=90°,
∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓.
當(dāng)CP過(guò)△ABC外心時(shí)(即過(guò)O點(diǎn)),∠BCE=60°,
∴∠BOE=120°,即E處的讀數(shù)為120,
當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí),∠BCE=45°,∠EOB=90°,
∴E處的讀數(shù)為90.

(3)在圖2中,
∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°,
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°,
∴BE=EC.
點(diǎn)評(píng):此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等腰三角形的判定和性質(zhì).
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如圖是一塊含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起,三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合,其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開(kāi)始(即N點(diǎn)的讀數(shù)為0),現(xiàn)有射線CP繞點(diǎn)C從CA方向順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到CB方向,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,射線CP與量角器的半圓弧交于E.
(1)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后,E點(diǎn)處的讀數(shù)為y度,求y與x的函數(shù)式.
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí),連接BE,求證:BE=CE.

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(1)當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí),求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少?
(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí),連接BE,求證:BE=CE.

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(1)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后,E點(diǎn)處的讀數(shù)為y度,求y與x的函數(shù)式.
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(1)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后,E點(diǎn)處的讀數(shù)為y度,求y與x的函數(shù)式.
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