【題目】如圖,矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B,C兩點(diǎn),且與x軸的一個交點(diǎn)為D(﹣2,0),點(diǎn)P是線段CB上的動點(diǎn),設(shè)CP=t(0<t<10).

(1)請直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)P作PE⊥BC,交拋物線于點(diǎn)E,連接BE,當(dāng)t為何值時,∠PBE=∠OCD?
(3)點(diǎn)Q是x軸上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作PM∥BQ,交CQ于點(diǎn)M,作PN∥CQ,交BQ于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PMQN為正方形時,請求出t的值.

【答案】
(1)

解:在y=ax2+bx+4中,令x=0可得y=4,

∴C(0,4),

∵四邊形OABC為矩形,且A(10,0),

∴B(10,4),

把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ,解得

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+4;


(2)

解:由題意可設(shè)P(t,4),則E(t,﹣ t2+ t+4),

∴PB=10﹣t,PE=﹣ t2+ t+4﹣4=﹣ t2+ t,

∵∠BPE=∠COD=90°,∠PBE=∠OCD,

∴△PBE∽△OCD,

= ,即BPOD=COPE,

∴2(10﹣t)=4(﹣ t2+ t),解得t=3或t=10(不合題意,舍去),

∴當(dāng)t=3時,∠PBE=∠OCD;


(3)

解:當(dāng)四邊形PMQN為正方形時,則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°,PM=PN,

∴∠CQO+∠AQB=90°,

∵∠CQO+∠OCQ=90°,

∴∠OCQ=∠AQB,

∴Rt△COQ∽Rt△QAB,

= ,即OQAQ=COAB,

設(shè)OQ=m,則AQ=10﹣m,

∴m(10﹣m)=4×4,解得m=2或m=8,

①當(dāng)m=2時,CQ= =2 ,BQ= =4

∴sin∠BCQ= = ,sin∠CBQ= = ,

∴PM=PCsin∠PCQ= t,PN=PBsin∠CBQ= (10﹣t),

t= (10﹣t),解得t= ,

②當(dāng)m=8時,同理可求得t= ,

∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時,t的值為


【解析】(1)由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo),由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由B、D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)可設(shè)P(t,4),則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出PB、PE的長,由條件可證得△PBE∽△OCD,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;(3)當(dāng)四邊形PMQN為正方形時,則可證得△COQ∽△QAB,利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長,在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ,則可用t分別表示出PM和PN,可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等,以及對相似三角形的性質(zhì)的理解,了解對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,線段AC和直線l分別垂直線段AB于點(diǎn)A,B.點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn),由A移動到B,連接CP,過點(diǎn)P作PD⊥CP交l于點(diǎn)D,設(shè)線段AP的長為x,BD的長為y,在下列圖象中,能大致表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的是( )

A.
B.
C.
D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)

(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動,直線m經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題呈現(xiàn):
(Ⅰ)如圖1,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求證:2S四邊形EFGH=S矩形ABCD . (S表示面積)
(Ⅱ)實(shí)驗(yàn)探究:某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn):若圖1中AH≠BF,點(diǎn)G在CD上移動時,上述結(jié)論會發(fā)生變化,分別過點(diǎn)E、G作BC邊的平行線,再分別過點(diǎn)F、H作AB邊的平行線,四條平行線分別相交于點(diǎn)A1、B1、C1、D1 , 得到矩形A1B1C1D1
如圖2,當(dāng)AH>BF時,若將點(diǎn)G向點(diǎn)C靠近(DG>AE),經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn):2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S
如圖3,當(dāng)AH>BF時,若將點(diǎn)G向點(diǎn)D靠近(DG<AE),請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S 之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(Ⅲ)遷移應(yīng)用:
請直接應(yīng)用“實(shí)驗(yàn)探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題:

⑴如圖4,點(diǎn)E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點(diǎn),已知AH>BF,AE>DG,S四邊形EFGH=11,HF= ,求EG的長.

⑵如圖5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點(diǎn)E、H分別在邊AB、AD上,BE=1,DH=2,點(diǎn)F、G分別是邊BC、CD上的動點(diǎn),且FG= ,連接EF、HG,請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點(diǎn)C,BD平分∠ABF,且交AE于點(diǎn)D,連接CD.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,AB=DF,AC=DF,BE=FC.
(1)求證:△ABC≌△DFE;
(2)連接AF、BD,求證:四邊形ABDF是平行四邊形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),連接AF交DE于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中一定正確的是(
A. =
B. =
C. =
D. =

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)垂美四邊形兩組對邊的平方和相等
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證).
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為建設(shè)生態(tài)平頂山,某校學(xué)生在植樹節(jié)那天,組織九年級八個班的學(xué)生到山頂公園植樹,各班植樹情況如下表:下列說法錯誤的是( )

班 級

棵 數(shù)

15

18

22

25

29

14

18

19


A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是18
B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20
C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18.5
D.這組數(shù)據(jù)的方差為0

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