Question

【題目】閱讀下列材料并完成任務(wù)：

“最短路徑問題”是數(shù)學(xué)中一類具有挑戰(zhàn)性的問題.其實，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人.有一天，一位將軍向他請教一個問題：如圖1，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚，為使馬走的路程最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？

海倫認(rèn)為以河邊為鏡面，畫出甲地的鏡像點（垂直河邊的等距離點），然后連接乙地和甲地的鏡像點，會跟河邊相交一點，這個點就是馬飲水的地方，馬走的路程最短（兩點之間直線距離最短）.

任務(wù)：

（1）請你幫海倫在圖1的位置完成作圖，并標(biāo)出馬飲水的地點（畫出草圖即可）；

（2）如圖2，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.請你在軸上找一點，使得最小，并直接寫出點的坐標(biāo)（保留作圖痕跡）；

應(yīng)用：

（3）如圖3，圓柱形容器高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿處的點處，點與的水平距離等于底面直徑，求螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）圖詳見解析，點的坐標(biāo)為；（3）螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為.

【解析】

（1）根據(jù)在河邊上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線l的對稱點，對稱點與另一點的連線與河邊線的交點就是所要找的點．

（2）找出C的對稱點C′，連接BC′，與x軸交點即為Q；

（3）將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．

解：（1）如答圖1即為所作圖形.

（2）如答圖2，點即為所求.

點的坐標(biāo)為

（3）如答圖3是杯子的側(cè)面的部分展開圖，

設(shè)點為杯子側(cè)面展開圖上邊沿的中點，作點關(guān)于上邊沿的對稱點，

連接，則即為最短距離，

設(shè)與展開圖的上邊緣交于點，過點作，且與的延長線交于點，

則，

.

在中，

.

∴螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為.