如圖,已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,點P是AB邊上的一個動點(P與A、B不重合),連結(jié)PC,過P作PO∥AC交BC于Q點.
(1)如果a、b滿足關(guān)系式a2+b2-12a-16b+100=0,c是不等式組的最大整數(shù)解,試說明△ABC的形狀.
(2)設(shè)AP=x,S△PCQ=y(tǒng),試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍.
(3)根據(jù)(2)所求得的函數(shù)關(guān)系式計算:當AP取多長時,△PCQ的面積最大?最大面積是多少?
解:(1)∵a2+b2-12a-16b+100=0. 即(a-6)2+(b-8)2=0 ∴a=6,b=8. 解不等式組
得 <x<11. ∴其最大整數(shù)解是x=10,即c=10. 由于a2+b2=62+82=100=102=c2, ∴△ABC是直角三角形. (2)由(1)得: S△ABC=ab=×6×8=24. 由三角形的面積公式可得: =, 即 =. ∴S△PBC=(10-x). ∵PQ∥AC,∴=. ∴===, ∴S△PCQ=·(10-x) 。剑x2+x, 即 y=-x2+x. 其中,自變量x的取值范圍是 0<x<10. (3)當x=-=5, y最大==6. 即當AP取5時,△PCQ的面積最大,最大面積為6. |
本題是一道代數(shù)、幾何綜合題. (1)利用已知中條件可求出a、b、c的值,從而可判斷△ABC的形狀. (2)求y與x的函數(shù)關(guān)系是一種常見題型,利用幾何知識寫出y與x的關(guān)系式,化簡即可. (3)即求(2)小問中函數(shù)的最值. |
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