Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠BAC=60°，AC與BC交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC、AD于點F、G，連接OG，則下列結論中一定成立的是（ ）．

①OG=AB；
②與△EGD全等的三角形共有5個；
③S四邊形ODGF＞S△ABF；
④由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形．

A.①③④B.①④C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=CD=AB，①正確；
先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；
由菱形的性質得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；
證出OG是△ABD的中位線，得出OG∥AB，OG=1212AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質和面積關系得出S四邊形ODGF=S△ABF；③不正確；即可得出結果．

解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，

，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG=CD=AB，①正確；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四邊形ABDE是菱形，④正確；
∴AD⊥BE，
由菱形的性質得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，

∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正確；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面積=△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，
又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，
∴S四邊形ODGF=S△ABF；不正確；
正確的是①④．

故選：B