Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C連接AC，BC．

（1）求∠ACO的正弦值．

（2）如圖1，D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，記點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m，作DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DH∥y軸交于BC于點(diǎn)H，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段DE的長(zhǎng)，并求出當(dāng)CH：BH=2：1時(shí)線段DE的長(zhǎng)．

（3）如圖2，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、B重合），作PM∥BC交直線AC于點(diǎn)M，連接CP，是否存在點(diǎn)P使S△CPM=2？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線解析式求出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，求出線段OA、AC長(zhǎng)度，即可求出∠ACO的正弦值；

（2）首先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，寫出點(diǎn)H坐標(biāo)，利用相似三角形比例關(guān)系可求出線段DE的長(zhǎng)，根據(jù)CH：BH=2：1，求出線段DE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線PM解析式，表示出點(diǎn)M、及與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解（1）令x=0，y=4，

∴C（0，4），OC=4，

令y=0，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OA=1，

∴AC==，

Sin∠ACO===．

（2）如圖1，

∵DE∥AC，

∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，

∵DH∥y軸，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠5，

∴OA：OC=EM：DM，

過點(diǎn)E作EM⊥DH，垂足為M，

設(shè)點(diǎn)D（m，﹣m2+m+4），

直線BC：y=﹣x+4，

∴H（m，﹣m+4），

∴DH=﹣m2+4m，

設(shè)EM=x，則DM=4x，

∠MEH=∠B，

∴HM=x，DH=x+4x=x，

∴x=，

∴DE=x==（﹣m2+4m）=﹣m2+m，

當(dāng)CH：BH=2：1時(shí)，

延長(zhǎng)DH至點(diǎn)K，則OK：KB=2：1，

OK=2，

∴m=2．

∴DE=﹣+=．

（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

直線BC解析式為：y=﹣x+4，

直線AC解析式為：y=4x+4，

∵作PM∥BC交直線AC于點(diǎn)M，

∴設(shè)PM直線解析式為y=﹣x+b，

∴P（，0）

聯(lián)立直線AC，求得M（，），

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖：

∴S△CPM=×CN×（﹣）=2

∴×（4﹣b）×（﹣）=2

解得：b=，

∴P（1，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，

連接CP，是否存在點(diǎn)P使S△CPM=2

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理：P（，0），M（，），

做CQ⊥y軸，Q（，4）

∴S△CPM=×CQ×=2

解得：b=，

∴P（2+1，0）．

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

同理：P（，0），M（，），

∴S△CPM=×PA×（4﹣）=2

解得：b=，

∴P（1﹣2，0）．

綜上所述：P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．