Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（3，0），與y軸交于點B（0，3），點P是x軸上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點C，交直線AB于點D，設P（x，0）．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）當0＜x＜3時，求線段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，當其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時，求相應x的值；
（4）過點B，C，P的外接圓恰好經過點A時，x的值為 ． （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點A（3，0），與y軸交于點B（0，3），

∴﹣9+3b+c=0，c=3，

∴b=2，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）解：∵A（3，0），B（0，3），∴直線AB解析式為y=﹣x+3，

∵P（x，0）．

∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），

∵0＜x＜3，

∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

當x= 時，CD最大= ；

（3）解：由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|

①當S△PDB=2S△CDB時，

∴PD=2CD，

即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，

∴x=± 或x=3（舍），

②當2S△PDB=S△CDB時，

∴2PD=CD，

即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，

∴x=±2或x=3（舍），

即：綜上所述，x=± 或x=±2

（4）
【解析】解：（4）直線AB解析式為y=﹣x+3，

∴線段AB的垂直平分線l的解析式為y=x，

∵過點B，C，P的外接圓恰好經過點A，

∴過點B，C，P的外接圓的圓心既是線段AB的垂直平分線上，也在線段PC的垂直平分線上，

∴ ，

∴x=± ，

所以答案是：