Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點，如果點的縱坐標滿縱坐標滿足： ，那么稱點為點的“關(guān)聯(lián)點”.

（1）請直接寫出點的“關(guān)聯(lián)點”的坐標____________；

（2）若點在函數(shù)的圖像上，其“關(guān)聯(lián)點”與點重合，求點的坐標；

（3）若點的“關(guān)聯(lián)點”在函數(shù)的圖像上，當時，求線段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（3,2）；（2）（4,2）；（3）當m≥n時，MN有最大值為14；當m＜n時，線段MN的最大值為2.

【解析】

（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義，即可得到答案；

（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義，可得到Q點坐標，根據(jù)點重合，得到方程，解方程即可得到答案；

（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義，分成兩種情況，當m≥n時，與當m＜n時，在每種情況下，求出N的坐標，根據(jù)平行于y的直線上的兩點的距離，可得到二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最大值即可.

（1）∵3＜5，根據(jù)關(guān)聯(lián)點定義

∴y’=5-3=2

故點（3,5）的“關(guān)聯(lián)點”的坐標為（3,2）.

（2）P在函數(shù)y=x-2的圖像上

設(shè)P點坐標為（x，x-2）

∵x＞x-2，根據(jù)關(guān)聯(lián)點定義得到Q點（x，2）

又因為P、Q重合，所以有2=x-2，得到x=4

∴P點坐標為（4,2）.

（3）點的“關(guān)聯(lián)點”是，共分兩種情況考慮.

①當m≥n時，點N的坐標為（m，m-n）

∵N在二次函數(shù)上

∴m-n=2m2，得到n=-2m2+m，

∴yM =-2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨-4m2+m丨

當0≤m≤，-4m2+m≥0，

MN=-4m2+m=-4（m-）2+

∴當m=時，線段MN的最大值為.

當＜m≤2時，-4m2+m＜0，

∴MN=4m2-m=4（m-）2-，當m=2時，MN有最大值為14

∴當m≥n時，MN有最大值為14；

②當m＜n時，點N的坐標為（m，n-m）

∵N在二次函數(shù)上

∴n-m=2m2，即n=2m2+m

∴yM =2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨m丨

∵

∴MN=m

當m=2時，線段MN的最大值為2.

即當m＜n時，線段MN的最大值為2.

∴綜上，當m≥n時，MN有最大值為14；當m＜n時，線段MN的最大值為2.