Question

（2012•梧州）如圖，拋物線y=-x²+12x-30的頂點為A，對稱軸AB與x軸交于點B．在x上方的拋物線上有C、D兩點，它們關(guān)于AB對稱，并且C點在對稱軸的左側(cè)，CB⊥DB．
（1）求出此拋物線的對稱軸和頂點A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上找出點Q，使它到A、C兩點的距離相等，并求出點Q的坐標(biāo)；
（3）延長DB交拋物線于點E，在拋物線上是否存在點P，使得△DEP的面積等于△DEC的面積？若存在，請你直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

，頂點坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線解析式化為頂點式，即可得到拋物線對稱軸方程以及頂點的坐標(biāo)．
（2）此小題首先要求出點C的坐標(biāo)；對于Rt△CBD來說，C、D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則CB=BD，那么△CBD是等腰直角三角形，若設(shè)拋物線對稱軸與CD的交點為G，那么△BCG也是等腰直角三角形，可先設(shè)出點C的橫坐標(biāo)，再由Rt△BCG的特殊形狀表示出點C的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出點C的坐標(biāo)．拋物線對稱軸已知，設(shè)出點Q的縱坐標(biāo)后，依坐標(biāo)系兩點間的距離公式表示出CQ、AQ的長，由CQ=AQ列出方程求出點Q的坐標(biāo)．
（3）若△DEP、△DEC的面積相等，那么點P與點C到直線DE的距離相同；
①過點C作平行于DE的直線，該直線與拋物線的交點為符合條件的點P，此時點P、C到直線DE的距離相同；
②過點D作DF∥BC，交x軸于點F，此時四邊形DCBF是平行四邊形，那么DF⊥DE，且DF=BC，那么過點F與直線DE平行的直線與拋物線的交點也是符合條件的點P．

解答：解：（1）∵y=-x²+12x-30=-（x-6）²+6
∴此拋物線的對稱軸為x=6，頂點A的坐標(biāo)（6，6）．

（2）∵C、D關(guān)于AB對稱，
∴BC=BD，CD∥x軸；
又∵CB⊥DB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，即△BCG為等腰直角三角形，CG=BG；
設(shè)點C的橫坐標(biāo)為a，則CG=6-a，BG=CG=6-a，即C（a，6-a），代入y=-x²+12x-30，得：
6-a=-a²+12a-30，解得：a₁=4、a₂=9（舍）
∴C（4，2）；
設(shè)Q（6，m），則AQ=6-m，CQ=

22+(m-2)2

∵AQ=CQ，
∴6-m=

22+(m-2)2

，
解得m=

7

2

∴Q（6，

7

2

）．

（3）設(shè)直線DE的解析式：y=kx+b，代入D（8，2）、B（6，0），得：

8k+b=2 6k+b=0

，
解得

k=1 b=-6

故直線DE：y=x-6；
若△DEP的面積等于△DEC的面積，則點C、P到直線DE的距離相等；
①過點C作直線l₁∥DE，可設(shè)其解析式為：y=x+b₁，代入C（4，2）解得：b₁=-2；
即：直線l₁ y=x-2，聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=x-2 y=-x2+12x-30

，
解得

x1=4 y1=2

、

x2=7 y2=5

故P₁（7，5）．
②過點D作DF∥CB，交x軸于點F，則四邊形DCBF為平行四邊形，且有：DF⊥DE，BF=CD=4，即F（10，0）；
過點F作直線l₂∥DE，同①易求得直線l₂：y=x-10，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

y=x-10 y=-x2+12x-30

，
解得

x1= 11+ 41 2 y1= -9+ 41 2

、

x2= 11- 41 2 y2= -9- 41 2

故P₂（

11+ 41

2

，

-9+ 41

2

）、P₃（

11- 41

2

，

-9- 41

2

）．
綜上，符合條件的點P的坐標(biāo)為P₁（7，5）、P₂（

11+ 41

2

，

-9+ 41

2

）、P₃（

11- 41

2

，

-9- 41

2

）．

點評：此題考查了了二次函數(shù)、等腰直角三角形、平行四邊形等綜合知識；（2）題中，由拋物線的對稱性得出△BCD的特殊形狀，進而得出C點的坐標(biāo)是解題的突破口；最后一題，找出經(jīng)過點P且與直線DE平行的兩條直線是解題的關(guān)鍵，容易漏解．