Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)B在A點(diǎn)的右側(cè)；交y軸于（0，-3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，拋物線上一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，12），在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行求解即可．
（2）本題要分類進(jìn)行討論：
①當(dāng)△ABD∽△PBC時(shí)，可得出關(guān)于PB、AB、BC、BD的比例關(guān)系式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后表示出PB的長(zhǎng)，而BC，BD的長(zhǎng)可根據(jù)B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)求得，因此根據(jù)此比例關(guān)系式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)△ABD∽△CBP時(shí)，同①
③當(dāng)△ABD∽△BCP時(shí)，此時(shí)∠ABD=∠BCP，AB∥PC，顯然是不成立的．

解答：解：
（1）將A（-1，0）、（0，-3）代入y=ax²-2ax+b中，
得到：a=1，b=-3
∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）易求：C（1，-4）B（3，0）
BC：y=2x-6
BD：y=-2x+6關(guān)于x軸對(duì)稱
從而∠DBA=∠CBA
①若：△ABD∽△PBC則：

PB

AB

=

BC

BD

設(shè)P（k，0），則PB=3-K而BC=

2

5

，BD=

6

5

，AB=4
從而K=

5

3

，此時(shí)P（

5

3

，0）．
②若：△ABD∽△CBP則：

PB

DB

=

BC

AB

，易知：k=-12
此時(shí)P（-12，0）．
③若：△ABD∽△BCP則：∠BCP=∠ABD=∠ABC
從而：AB∥CP而P點(diǎn)在x軸上，故這種情況不成立．
綜上所述：符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是P（

5

3

，0）或P（-12，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
（2）在不確定相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的情況下要分類討論，不要漏解．