Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AB//x軸，如圖一，求t的值；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M（不與A重合） ， 使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ,連接 ，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ 的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出∠ 的度數(shù)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB//x軸，

∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4

（2）解：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，7）, （6，-4）, （10，-1）

（3）解：

∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴點(diǎn)

∴過(guò)點(diǎn) 作 軸于點(diǎn) ，

為等腰直角三角形.

∴∠ =45°

【解析】 （1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．根據(jù)題意首先判斷出四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AO=BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，從而得出∠OAP=45°，進(jìn)而判斷出△AOP為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA=OP=4，然后根據(jù)時(shí)間=路程除以速度算出結(jié)果；
（2）當(dāng)t=3時(shí)OP=3，又OA=4，根據(jù)勾股定理得出AP的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的意義得出AP=BP，再根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，然后分類(lèi)討論當(dāng)△MPB和△ABP全等時(shí)，易得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，7）, （10，-1）；當(dāng)△MPB與△APB全等時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P 對(duì)稱(chēng)易得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，-4）, 綜上所述從而得出答案；
（3） 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及同角的余角相等得出∠PAO=∠BPC，然后利用SAS判斷出△PAO≌△BPC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出AO=PC，BC=PO，根據(jù)A,P兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t，從而得出b點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn) B 作 B H ⊥ y 軸于點(diǎn) H ，BH=OC=4+t=A′H,判斷出△ A ′ H B 為等腰直角三角形，得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°)．