Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求CD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點；

（2）連接BC，根據圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質即可解決問題．

試題解析：（1）證明：連接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC

∴∠DAC=∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直線CD與⊙O相切于點C；

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴

∴AC2=ADAB，

∵⊙O的半徑為3，AD=4，

∴AB=6，

∴AC=2