Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D為AC的中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．
求證：∠DEF=45°．

Answer 1

分析：連接BD，根據等腰直角三角形的性質得到∠ADB=∠CDB=90°，∠EBD=∠DCF=45°，BD=AD=CD，再根據等角的余角相等得到∠EDB=∠CDF，然后根據全等三角形的判定方法得到△EBD≌△FCD，則DE=DF，而∠EDF=90°，即可得到∠DEF=45°．

解答：證明：連接BD，如圖，
∵在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D為AC的中點，
∴∠ADB=∠CDB=90°，∠EBD=∠DCF=45°，BD=AD=CD，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDB+∠BDF=∠BDF+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△EBD和△FCD中

∠EBD=∠C BD=DC ∠EDB=∠CDF

，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組角分別相等，且它們所夾的邊對應相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質．