【題目】(2016浙江省溫州市第24題)如圖,在射線BA,BC,AD,CD圍成的菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,O是射線BD上一點,⊙O與BA,BC都相切,與BO的延長線交于點M.過M作EF⊥BD交線段BA(或射線AD)于點E,交線段BC(或射線CD)于點F.以EF為邊作矩形EFGH,點G,H分別在圍成菱形的另外兩條射線上.
(1)求證:BO=2OM.
(2)設(shè)EF>HE,當(dāng)矩形EFGH的面積為24時,求⊙O的半徑.
(3)當(dāng)HE或HG與⊙O相切時,求出所有滿足條件的BO的長.
【答案】(1)、答案見解析;(2)、2或4;(3)、18﹣6或9或18或18+6.
【解析】
試題分析:(1)、設(shè)⊙O切AB于點P,連接OP,由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°.先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù),然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可;(2)、設(shè)GH交BD于點N,連接AC,交BD于點Q.先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長,設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.當(dāng)點E在AB上時.在Rt△BEM中,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(用含r的式子表示),由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長(用含r的式子表示,從而得到MN=18﹣6r,接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可;當(dāng)點E在AD邊上時.BM=3r,則MD=18﹣3r,最后由MB=3r=12列方程求解即可;(3)、先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形,①如圖4所示,點E在AD上時,可求得DM=r,BM=3r,然后依據(jù)BM+MD=18,列方程求解即可;②如圖5所示;依據(jù)圖形的對稱性可知得到OB=BD;③如圖6所示,可證明D與O重合,從而可求得OB的長;④如圖7所示:先求得DM=r,OMB=3r,由BM﹣DM=DB列方程求解即可.
試題解析:(1)、如圖1所示:設(shè)⊙O切AB于點P,連接OP,則∠OPB=90°. ∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠ABD=∠ABC=30°.∴OB=2OP. ∵OP=OM, ∴BO=2OP=2OM.
(2)、如圖2所示:設(shè)GH交BD于點N,連接AC,交BD于點Q. ∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD. ∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ=AB=18. 設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.
∵EF>HE, ∴點E,F(xiàn),G,H均在菱形的邊上.
①如圖2所示,當(dāng)點E在AB上時.
在Rt△BEM中,EM=BMtan∠EBM=r. 由對稱性得:EF=2EM=2r,ND=BM=3r.
∴MN=18﹣6r. ∴S矩形EFGH=EFMN=2r(18﹣6r)=24. 解得:r1=1,r2=2.
當(dāng)r=1時,EF<HE, ∴r=1時,不合題意舍 當(dāng)r=2時,EF>HE, ∴⊙O的半徑為2. ∴BM=3r=6.
如圖3所示: 當(dāng)點E在AD邊上時.BM=3r,則MD=18﹣3r. 由對稱性可知:NB=MD=6.
∴MB=3r=18﹣6=12. 解得:r=4. 綜上所述,⊙O的半徑為2或4.
(3)、解設(shè)GH交BD于點N,⊙O的半徑為r,則BO=2r.
當(dāng)點E在邊BA上時,顯然不存在HE或HG與⊙O相切.
①如圖4所示,點E在AD上時. ∵HE與⊙O相切, ∴ME=r,DM=r. ∴3r+r=18.
解得:r=9﹣3. ∴OB=18﹣6.
②如圖5所示;由圖形的對稱性得:ON=OM,BN=DM. ∴OB=BD=9.
③如圖6所示.∵HG與⊙O相切時,MN=2r.∵BN+MN=BM=3r. ∴BN=r. ∴DM=FM=GN=BN=r.
∴D與O重合. ∴BO=BD=18.
④如圖7所示:∵HE與⊙O相切,∴EM=r,DM=r.∴3r﹣r=18. ∴r=9+3.
∴OB=2r=18+6.
綜上所述,當(dāng)HE或GH與⊙O相切時,OB的長為18﹣6或9或18或18+6.
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