Question

23、如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△DFE；
（2）（A類）連接CE，當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求證：CE⊥BF；
（B類）連接CE，當(dāng)CE平分∠BCD時(shí)，求證：CE⊥BF．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可得內(nèi)錯(cuò)角相等；又由點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，易證得△ABE≌△DFE（SAS）；
（2）A類：由△ABE≌△DFE，易得BF平分∠ABC，繼而得到△BCF是等腰三角形，根據(jù)三線合一，證得CE⊥BF；
B類：由△ABE≌△DFE與CE平分∠BCD可證得CF=2CD，BC=2CD，繼而可得△BCF是等腰三角形，根據(jù)三線合一，證得CE⊥BF．

解答：（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠FDE，
又∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE．
在△ABE與△DFE中，
∵∠BAD=∠FDE，AE=DE，∠BEA=∠FED，
∴△ABE≌△DFE．
（2）A類：
證明：∵△ABE≌△DFE，
∴∠ABE=∠BFC，BE=EF，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠BFC，
∴△BCF是等腰三角形，
∴CE⊥BF；
B類：
證明：∵△ABE≌△DFE，
∴DF=AB，
又∵CD=AB，
∴CF=2CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
又∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠FCE=∠DEC，
∴DE=CD，
又∵AE=DE，
∴BC=2CD，
∴CF=BC，
又∵CE平分∠BCD，
∴CE⊥BF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)．此題綜合性比較強(qiáng)，屬于中等難度的題目．解題的關(guān)鍵是注意特殊圖形性質(zhì)的應(yīng)用．