Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（8，8），將正方形ABCO繞點C逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交線段AB于點G，ED的延長線交線段OA于點H，連CH、CG．

（1）求證：△CBG≌△CDG；

（2）求∠HCG的度數；判斷線段HG、OH、BG的數量關系，并說明理由；

（3）連結BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉過程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請求出點H的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）HG=HD+DG=HO+BG；（3）H點的坐標為（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）求證全等，觀察兩個三角形，發(fā)現都有直角，而CG為公共邊，進而再鎖定一條直角邊相等即可，因為其為正方形旋轉得到，所以邊都相等，即結論可證．

（2）根據（1）中三角形全等可以得到對應邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問的思路容易發(fā)現△CDH≌△COH，也有對應邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．

（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．由上幾問知DG=BG，所以此時同時滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點的坐標，可以設其為（x，0），則OH=x，AH=6﹣x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達式表達，那么根據勾股定理可列方程，進而求出x，推得H坐標．

（1）證明：∵正方形ABCO繞點C旋轉得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴△CDG≌△CBG（HL）；

（2）解：∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵，

∴△CHO≌△CHD（HL），

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG；

（3）解：四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對角線互相平分，合適的點只有G為AB中點的時候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對角線相等，則其為矩形，

∴當G點為AB中點時，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=6，

∴AG=BG=3．

設H點的坐標為（x，0），則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=3．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，

∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．

∴H點的坐標為（2，0）．