Question

18、定義：到四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊的距離也相等的點(diǎn)叫做這個四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．如圖甲，PE=PF，PG=PH，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．
如圖乙，∠ARD與∠CSD的角平分線相交于點(diǎn)P，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得出點(diǎn)P是就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．


請你分別畫出平行四邊形（圖1）和梯形（圖2）的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，并簡要說明準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)的位置．


畫圖：

說明：
（1）

對角線AC、BD的交點(diǎn)P即為平行四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)

．

（2）

∠BSC的角平分線ST與梯形中位線MN的交點(diǎn)P即為梯形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)

．

Answer 1

分析：如圖（1）只要證得PJ=PH，PG=PI，即可得出結(jié)論；通過證明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角線互相平分，可得出交點(diǎn)既是準(zhǔn)內(nèi)心，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和梯形中位線的性質(zhì)定理，可得梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)即為準(zhǔn)內(nèi)心，

解答：解：（1）證明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可證△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)心；
（2）平行四邊形對角線AC、BD的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（1），
或者取平行四邊形兩對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖3（2），
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)P₂就是準(zhǔn)內(nèi)心，如圖4．

點(diǎn)評：本題主要考查了多邊形的準(zhǔn)內(nèi)心，用到的知識點(diǎn)是角平分線、中位線的性質(zhì)定理；可通過證明三角形全等來證得結(jié)論，難度適中．