【題目】已知ABC是等邊三角形,點DBC邊上,點EAB的延長線上,將DED點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到DF

1)如圖1,若點F恰好落在AC邊上,求證:點DBC的中點;

2)如圖2,在(1)的條件下,若=45°,連接AD,求證:;

3)如圖3,若,連CF,當(dāng)CF取最小值時,直接寫出的值.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(33.

【解析】

1)要證明D是線段的中點,最常見的作法是證明兩線段所在三角形全等,過點DDHAB,DG⊥AC,構(gòu)建出線段所在的三角形,然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和,確定相等的角,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定相等的邊,求,根據(jù)三角形全等的性質(zhì),得到條件進而求證解決.

2)設(shè)出CGx,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形中銳角三角函數(shù),將BE、CF、AD的邊分別用x表示出來,進而求證即可.

3)延長DB至點K,使BK=BE,過點DDQABDQ=AB,連接AQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),證明△DEK≌DFQ,得出∠FQD=60°,F(xiàn)Q所在直線即為F的軌跡,然后根據(jù)直角三角形中邊角關(guān)系,判斷出CD與PD的關(guān)系,然后確定PD與CQ的關(guān)系,最后確定的值即可.

解:(1) 過點DDHAB,DG⊥AC,如圖:

△ABC是等邊三角形

∠ A=∠ C=∠ ABC=60°

∠EDF=120°,

DBC的中點

2)證明:

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°

設(shè)CG為m,

在Rt△CGD中,

在Rt△FGD中,

∵∠DFG=45°

∴DG=GF=

∴CF=CG+GF=

∵D是BC的中點

∴BD=CD=2m

在Rt△BDH中,

BH=BD×cos60°=2m×=m

∵DF是由DE旋轉(zhuǎn)得到

∴DE=DF=

RtEDH中,

BE=EH-BH=-m=

CF+BE=+

在Rt△ADC中,

AD=CD×tan60°=2m×=

∴CF+BE=AD

3)解:

延長DB至點K,使BK=BE

過點DDQABDQ=AB,連接AQ

BE=CD,BE=BK

∴BK=CD

∴BC=BD+CD=BD+BK=DK

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC

DQ=AB,

∴DK=DQ

DQAB

∠BDQ+∠ABC=120°

∵∠BDF=120°

∴∠EDB=∠FDQ

在△DEK和DFQ中

∴△DEK≌DFQ(SAS)

∴∠FQD=∠K

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC=60°

又∵BK=NE,∠KBE=∠ABC=60°

∴∠K=∠BEK=60°

∠FQD=∠K=60°

∴F的軌跡為直線FQ,

∴當(dāng)CF⊥FQ時,CF最小,此時DQ與CF相交于點P,

在Rt△PFQ中,

∵∠FPQ=90°-60°

∴PQ=2FQ

∵∠BDQ=120°,

∴∠PDC=60°,

在△FQP和△CDP中,

∴△FQP≌△CDP(AAS)

∴PQ=PD

在Rt△PDC中,

∵∠PDC=∠PQF=60°

PQ=2CD

∴DQ=4CD

∴KD=4CD

又∵KB=CD

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銷售單價(元)

銷售量(件)

________

銷售玩具獲得利潤(元)

________

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