Question

9．如圖，點A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$的第一象限分支上，AO的延長線交第三象限的雙曲線于C，AB的延長線與x軸交于點D，連接CD與y軸交于點E，若AB=BD，S_△ODE=$\frac{9}{4}$，則k=2．

Answer 1

分析 作AF⊥x軸于F，BG⊥x軸于G，則BG∥AF，由AB=BD，得出FG=DG，BG=$\frac{1}{2}$AF，設A（a，$\frac{k}{a}$），則B（2a，$\frac{k}{2a}$），C（-a，-$\frac{k}{a}$），即可得到DG=FG=a，OD=3a，作CH⊥y軸于H，則△ODE∽△HCD，得出$\frac{OE}{CH}$=$\frac{OD}{HD}$，即$\frac{OE}{\frac{k}{a}}$=$\frac{3a}{4a}$，求得OE=$\frac{3k}{4a}$，然后根據(jù)S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{9}{4}$，得出$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{3k}{4a}$=$\frac{9}{4}$，解得k=2．

解答 解：作AF⊥x軸于F，BG⊥x軸于G，
則BG∥AF，
∴AB=BD，
∴FG=DG，BG=$\frac{1}{2}$AF，
設A（a，$\frac{k}{a}$），則B（2a，$\frac{k}{2a}$），C（-a，-$\frac{k}{a}$），
∴DG=FG=2a-a=a，
∴OD=3a，
作CH⊥y軸于H，
∴CH∥y軸，
∴△ODE∽△HCD
∴$\frac{OE}{CH}$=$\frac{OD}{HD}$，即$\frac{OE}{\frac{k}{a}}$=$\frac{3a}{4a}$，
∴OE=$\frac{3k}{4a}$，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{3k}{4a}$=$\frac{9}{4}$，
∴k=2．
故答案為2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及系數(shù)三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關鍵．