Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)D，交正方形OABC的另一邊AB于點(diǎn)E．

（1）求k的值；

（2）如圖①，若點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，連接PE，PD，DE，當(dāng)△DEP的周長最短時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，若點(diǎn)Q（x，y）在該反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動（不與D重合），過點(diǎn)Q作QM⊥y軸，垂足為M，作QN⊥BC所在直線，垂足為N，記四邊形CMQN的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8 ；（2）（）；（3）S=8-4x，0<x＜2；S=4x-8,x>2

【解析】

（1）首先根據(jù)題意求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由反比例函數(shù)y=（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)D，D點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出k即可；

（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到點(diǎn)P的位置：作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接DE′，交x軸于點(diǎn)P，求得直線DE′與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分兩步進(jìn)行解答，①當(dāng)Q在直線BC的上方時，即0＜x＜2，如圖1，根據(jù)S四邊形CMQN=CNQD列出S關(guān)于x的解析式，②當(dāng)Q在直線BC的下方時，即x＞2，如圖2，依然根據(jù)S四邊形CMQN=CNQD列出S關(guān)于x的解析式．

（1）如圖①，

∵正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），

∴C（0，4），

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴D（2，4），

∵反比例函數(shù)y=（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，

∴k=8；

（2）如圖①，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接DE′，交x軸于點(diǎn)P，

把x=4代入y=，得y=2，則E（4，2），

故點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)E′（4，-2），

設(shè)直線DE′的方程為y=kx+b（k≠0），

將D（2，4），E′（4，-2）分別代入得到：，

解得，

故直線DE′的方程為y=-3x+10，

當(dāng)y=0時，x=，

即P（，0）；
（3）如圖②，

當(dāng)Q在直線BC的上方時，即0＜x＜2，

如圖1，∵點(diǎn)Q（x，y）在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動，

∴y=，

∴S四邊形CMQN=CNQD=x（-4）=8-4x（0＜x＜2），

如圖③，

當(dāng)Q在直線BC的下方時，即x＞4，同理求出S四邊形CMQN=CNQD=x（4-）=4x-8（x＞2），

綜上S=．