【題目】(2016·棗莊中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=
-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.
(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B,C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形時點P的坐標.
【答案】(1) y=x+3 (2) (-1,2) (3) (-1,-2)或(-1,4)或或
解:(1)依題意得解得∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.∵對稱軸為直線x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),∴點B的坐標為(-3,0).把B(-3,0),C(0,3)分別代入直線y=mx+n,得解得∴直線BC的解析式為y=x+3;
(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最。x=-1代入y=x+3得y=2,∴點M的坐標為(-1,2),即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時點M的坐標為(-1,2);
(3)設點P的坐標為(-1,t).又∵點B的坐標為(-3,0),點C的坐標為(0,3),∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2;②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4;③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18,解得t1=,t2=.綜上所述,點P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或或.
【解析】試題分析:(1).先把點A,C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關系式,再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系,聯(lián)立得到方程組求解即可得出a,b,c的值,從而得到拋物線解析式;
把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;
(2).設直線BC與對稱軸x=1的交點為M,則此時MA+MC的值最小,把x=1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M坐標;
(3).設P(1,t),又因為B(3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(1+3)2+t2=4+t2,PC2=(1)2+(t3)2=t26t+10,分別以B、P、C為直角頂點三種情況討論求出符合題意的t值即可求出點P的坐標.
解:(1)依題意得解得∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3.∵對稱軸為直線x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),∴點B的坐標為(-3,0).把B(-3,0),C(0,3)分別代入直線y=mx+n,得解得∴直線BC的解析式為y=x+3;
(2)設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最。x=-1代入y=x+3得y=2,∴點M的坐標為(-1,2),即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時點M的坐標為(-1,2);
(3)設點P的坐標為(-1,t).又∵點B的坐標為(-3,0),點C的坐標為(0,3),∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10,解得t=-2;②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2,解得t=4;③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18,解得t1=,t2=.綜上所述,點P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或或.
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【題目】定義新運算:A*B=A+B+AB,則下列結論正確的是( )
①2*1=5 ②2*(-3)= -7 ③(-5 )*8=37 ④(-7)*(-9)=47
A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②④
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO(O是坐標原點),求點D的坐標;
(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點,連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1-S2的最大值.
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【題目】鐵路部門規(guī)定旅客免費攜帶行李箱的長、寬、高之和不超過160 cm,某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱,已知行李箱的高為30 cm,長與寬的比為3∶2,則該行李箱的長的最大值為( )
A. 26 cm
B. 52 cm
C. 78 cm
D. 104 cm
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【題目】一次比賽中,5位裁判分別給某位選手打分的情況是:有2人給出9.1分,有2人給出9.3分,有1人給出9.7分,則這位選手的平均得分是________分.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,點P在⊙O上,PB與CD交于點F,∠PBC=∠C.
(1)求證:CB∥PD;
(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半徑R=2,求劣弧AC的長度.
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【題目】長為3cm,4cm,6cm,8cm的木條各兩根,小明與小剛分別取了3cm和4cm的兩根,要使兩人所拿的三根木條組成的兩個三角形全等,則他倆取的第三根木條應為( )
A.一個人取6cm的木條,一個人取8cm的木條
B.兩人都取6cm的木條
C.兩人都取8cm的木條
D.C兩種取法都可以
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