Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC2=OA·OB.

(1)證明：tan∠BAC· tan∠ABC=1;

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，tan∠OCB=2，

①求該拋物線的表達(dá)式;

②若點(diǎn)D是該拋物線上的一點(diǎn)，且位于直線BC上方，當(dāng)四邊形ABDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②D.

【解析】

（1）由OC2=OA·OB和∠AOC=∠COB=90°，可判定△AOC∽△COB，可得∠BAC=∠OCB ，再根據(jù)正切的定義即可得證；

（2）①由C點(diǎn)坐標(biāo)可得OC=2，然后由正切值求出OB，OA，即可得到A、B的坐標(biāo)，然后采用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式；

②連接AC，過(guò)D作DF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，先求出直線BC解析式，再根據(jù)D、E橫坐標(biāo)相同求出E點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后采用“鉛錘法”可表示出△BCD的面積，因?yàn)椤?/span>ABC固定，當(dāng)△BCD面積最大時(shí)，則四邊形ABDC面積最大.

解：（1）∵OC2=OA·OB

∴

∵∠AOC=∠COB=90°

∴△AOC∽△COB

∴∠BAC=∠OCB

∴tan∠BAC=tan∠OCB=

又∵tan∠ABC=

∴tan∠BAC· tan∠ABC=1

（2）①∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，tan∠OCB=2

∴OC=2，tan∠OCB==2

∴OB=2OC=4，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）

又∵OC2=OA·OB

∴OA=，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）

將A（-1,0），B（4,0），C (0，2)代入二次函數(shù)表達(dá)式得，

，解得，

∴二次函數(shù)表達(dá)式為

②如圖，連接AC，過(guò)D作DF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，

設(shè)BC直線解析式為，將B（4,0），C (0，2)代入得，

，解得，

∴BC直線解析式為

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，

則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，代入BC直線可得，

即E點(diǎn)坐標(biāo)為

∴DE=

∴

∵S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD，且S△ABC為定值，

∴當(dāng)S△BCD取得最大值時(shí)，S四邊形ABDC取得最大值.

∵

∴當(dāng)m=2時(shí)，△BCD的面積最大值為4，此時(shí)S四邊形ABDC取得最大值，

將x=2時(shí)，

∴當(dāng)四邊形ABDC的面積最大時(shí)，D的坐標(biāo)為.