Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）和C（0，3）．由待定系數(shù)法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由條件可以知道∠CAD不可能為直角，從∠ADC和∠ACD′是直角來(lái)討論可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答：解；（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+3），由題意，得
3=-3a，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3），即y=-x²+2x+3．

（2）∵點(diǎn)D在x軸上，
∴在Rt△ACD中，∠CAD不可能為直角．
當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，D點(diǎn)與O點(diǎn)重合，
∴D（0，0），
當(dāng)∠ACD′=90°時(shí)，
∴∠D′CO+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠D′CO=∠OAC，
∴△D′CO∽△CAO，
∴，
∴，
∴D′O=9，
∴D′（-9，0）．
綜上所述，D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，0）或（-9，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．