Question

（2013•紹興模擬）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0）頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4），以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作⊙D的切線，切點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）請(qǐng)通過計(jì)算判斷拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C；
（3）設(shè)M，N 分別為x軸，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PNMC的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)為A（1，-4），點(diǎn)B（3，0）代入求出拋物線的解析式；
（2）首先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用CD等于圓O半徑為

1

2

AB=2，由cos∠PDC=

CD

PD

=

2

4

=

1

2

，得出C點(diǎn)坐標(biāo)即可，進(jìn)而判斷拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C即可；
（3）作C關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)C′，P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C′，與x軸，y軸交于M、N點(diǎn)，此時(shí)四邊形PNMC周長(zhǎng)最小，求出直線P′C′的解析式，求出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k把h=1，k=-4，代入得；
y=a（x-1）²-4，
把x=3，y=0代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4，
即：y=x²-2x-3；

（2）作拋物線的對(duì)稱軸，
把y=0代入y=x²-2x-3解得 x₁=-1，x₂=3，
∴A 點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=|3-（-1）|=4，
∴OD=2-1=1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)D在直線x=1上，
過點(diǎn)C作CE⊥PD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DC，
∵PC是⊙D的切線，
∴PC⊥DC，
在Rt△PCD中
∵cos∠PDC=

CD

PD

=

2

4

=

1

2

，∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+1，-1），
把x=

3

+1代入y=x²-2x-3得：y=-1，
∴點(diǎn)C在拋物線上；

（3）如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C′，分別交x軸，y軸于M，N兩點(diǎn)，
此時(shí)四邊形PNMC的周長(zhǎng)最小，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+1，-1），
∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+1，1），
∵P的坐標(biāo)為（1，-4），
∴P′的坐標(biāo)為（-1，-4），
代入y=kx+b中，

( 3 +1)k+b=1 -k+b=-4

，
解得：

k=-5 3 +10 b=-5 3 +6

，
則直線P′C′的解析式為：y=（-5

3

+10）x-5

3

+6，
當(dāng)x=0，y=-5

3

+6，
故N點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-5

3

+6），
當(dāng)y=0，則0=（-5

3

+10）x-5

3

+6，
解得：x=

3+4 3

5

，
故M點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3+4 3

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式以及利用對(duì)稱性求出四邊形最小值，利用軸對(duì)稱找到M，N的位置是解題關(guān)鍵．