Question

【題目】已知；直線AB∥CD，直線MN分別與AB、CD交于點E、F．

（1）如圖1，∠BEF和∠EFD的平分線交于點G．求∠G的度數；

（2）如圖2，EI和EK為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點I和K，猜想∠FIE和∠K的關系，并證明；

（3）如圖3，點Q為線段EF（端點除外）上的一個動點，過點Q作EF的垂線交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分線相交于P，問∠EPJ的度數是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出∠EPJ的度數；若會發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）∠EIF+∠K＝180°；（3）∠EPJ＝45°；

【解析】

（1）根據、分別平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到結論；

（2）過點作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根據平行線的性質即可得到結論；

（3）根據、的平分線相交于，得到，，由于，得到，且；根據，得，再利用等量代換即可得到結論．

解：（1）∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，

∴∠FEG+∠GFE＝90°，

∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，

∴∠EGF＝90°；

（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如圖，過點I作IH∥AB，

∵AB∥CD，∴IH∥CD，

由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，

∴∠3＝∠KFD，

∵FK平分∠EFD，

∴∠4＝∠KFD，

∵∠1＝∠2，

∴∠K＝∠2+∠4，

∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，

∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EIF+∠K＝180°；

（3）∠EPJ＝45°，理由如下：

∵AB∥CD，

∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，

∵∠AEF、∠CJR的平分線相交于P，

∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，

∵RJ⊥EF，

∴∠FQJ＝90°，

∴∠EFJ+∠CJR＝90°，

∴∠AEF+∠CJR＝90°，

∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，

∴∠AEP+∠PJC＝45°，

∴∠EPJ＝45°．