Question

（2003•遼寧）如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過點C的直線：y=-2x-8與y軸交于P．
（1）求證：PC是⊙D的切線；
（2）判斷在直線PC上是否存在點E，使得S_△EOP=4S_△CDO，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)直線PC繞點P轉(zhuǎn)動時，與劣弧AC交于點F（不與A、C重合），連接OF，設(shè)PF=m，OF=n，求m、n之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得C（，0），P（0，-8），根據(jù)cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，即PC是⊙D的切線；
（2）設(shè)直線PC上存在一點E（x，y），使S_△EOP=4S_△CDO×8×|x|，解得x=±，由y=-2x-8可知：當(dāng)x=時，y=-12，當(dāng)x=-時，y=-4，所以在直線PC上存在點E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；
（3）作直線PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，由切割線定理得：PC²=PF•PQ①，易證△CPD∽△OPC，，即PC²=PO•PD，可知PO•PD=PF•PQ，∠FPO=∠DPQ，從而證明△FPO∽△DPQ，即，即m=3n（2＜n＜）．
解答：（1）證明：直線y=與x軸、y軸分別交于點C、P，
∴C（，0），P（0，-8），
∴cot∠OCD=，cot∠OPC=，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切線；

（2）解：設(shè)直線PC上存在一點E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，
×8×|x|=4××1×2，
解得x=±，由y=-2x-8可知：
當(dāng)x=時，y=-12，
當(dāng)x=-時，y=-4，
∴在直線PC上存在點E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

（3）解法一：
作直線PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，
由切割線定理得：PC²=PF•PQ①，
在△CPD和△OPC中，
∵∠PCD=∠POC=90°，∠CPD=∠OPC，
∴△CPD∽△OPC，
∴，
即PC²=PO•PD②，
由①、②得：PO•PD=PF•PQ，
又∵∠FPO=∠DPQ，
∴△FPO∽△DPQ，即，
∴m=3n（2＜n＜）．
解法二：作直線PF交劣弧AC于F，
設(shè)F（x，y），作FM⊥y軸，M為垂足，連接OF，
∵m²-（-8-y）²=x²，
n²-y²=x²，
∴m²-64-16y-y²=n²-y²，
即m²-64-16y=n²①，
又∵3²-（1-y）²=x²，
∴3²-（1-y）²=n²-y²，
解得y=②，
將②代入①，解得：m=3n，m=-3n（舍），
∴m=3n（2＜n＜）．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象上點的意義和相似三角形的性質(zhì)來表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．