Question

已知⊙M的直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P在

AB

上運(yùn)動(dòng)，過(guò)O作OP的垂線(xiàn)，與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，且AB=10．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到

AB

的中點(diǎn)時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）若A（6，0），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，求OQ的長(zhǎng)；
（3）若tan∠OPQ=

5

4

，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，OQ取到最大值，并求此時(shí)OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知OP經(jīng)過(guò)圓心M，所以在直角△BMP中，由勾股定理來(lái)求BP的長(zhǎng)度；
（2）通過(guò)相似三角形△QOP∽△BOA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

OQ

OB

=

OP

OA

，即

OQ

8

=

9.6

6

，則易求OQ=12.8；
（3）根據(jù)正切三角函數(shù)的定義得到

OQ

OP

=

5

4

，則OQ=

5

4

OP．當(dāng)OP是⊙M的直徑時(shí)OQ取得最大值，再把AB的長(zhǎng)代入進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）如圖，連接AP．
∵AB是⊙M的直徑，點(diǎn)P是

AB

的中點(diǎn)，
∴BP=AP，PO⊥AB，
∴OP垂直平分AB，即OP經(jīng)過(guò)圓心M，
∴在直角△BMP中，BP=

2

BM=5

2

；

（2）如圖，∵A（6，0），
∴OA=6．
∴在直角△AOB中，AB=10，OA=6，OB=

AB2-OA2

=

102-62

=8．
∵點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，AB是直徑，
∴OP⊥AB，且OF=PF，
∴

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OF，即

1

2

×6×8=

1

2

×10×OF，則OF=4.8．
∴OP=9.6．
∵∠QPO=∠BAO，∠QOP=∠BOA=90°，
∴△QOP∽△BOA，
∴

OQ

OB

=

OP

OA

，即

OQ

8

=

9.6

6

，則OQ=12.8；

（3）∵tan∠OPQ=

5

4

，
∴

OQ

OP

=

5

4

，
∴OQ=

5

4

OP．
∵點(diǎn)P是

AB

上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)OP是直徑時(shí)，OP取最大值10，
∴OQ_最大=

5

4

×10=

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．