【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),順次連接E、G、F、H.
(1)猜想四邊形EGFH是什么特殊的四邊形,并說明理由;
(2)當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形EGFH為正方形,并說明理由;
(3)猜想:∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系.直接寫出結(jié)果____________.
【答案】(1)菱形;(2)∠ABC+∠DCB=90°;(3)∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°
【解析】
(1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EGAB,EHCD,HFAB,EG∥AB,HF∥AB,根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB,根據(jù)平角的定義得到∠GFH=90°,于是得到結(jié)論;
(3)由平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB,根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論.
(1)四邊形EGFH是菱形.理由如下:
∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),
∴EGAB,EHCD,HFAB,EG∥AB,HF∥AB,
∴四邊形EGFH是平行四邊形,EG=EH,
∴四邊形EGFH是菱形;
(2)當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時(shí),四邊形EGFH為正方形,
理由:∵GF∥CD,HF∥AB,
∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB.
∵∠ABC+∠DCB=90°,
∴∠GFH=90°,
∴菱形EGFH是正方形;
(3)當(dāng)∠ABC+∠DCB<180°時(shí),∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°.
理由如下:
∵GF∥CD,HF∥AB,
∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB.
∵∠BFG+∠GFH+∠HFC=180°,
∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°.
當(dāng)∠ABC+∠DCB=180°時(shí),∠GFH=0°,四邊形EGFH不存在,∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°;
當(dāng)∠ABC+∠DCB>180°時(shí),∠GFH+∠ABC﹣∠DCB=180°.
綜上所述:∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC面積為1,第一次操作:分別延長(zhǎng)AB,BC,CA至點(diǎn)A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,順次連接A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:分別延長(zhǎng)A1B1,B1C1,C1A1至點(diǎn)A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,順次連接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,…按此規(guī)律,第n次操作后,得到△AnBnCn,要使△AnBnCn的面積超過2020,則至少需要操作__________次.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),給出以下四個(gè)結(jié)論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③2S四邊形AEPF=S△ABC;④BE+CF=EF.上述結(jié)論中始終正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新定義:我們把只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做準(zhǔn)矩形.
(1)圖①、圖②均為3×3的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.線段AB、BC的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上,在圖①、圖②中各畫一個(gè)準(zhǔn)矩形ABCD,要求:準(zhǔn)矩形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上,且兩個(gè)準(zhǔn)矩形不全等.
(2)如圖③,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,準(zhǔn)矩形ABMN的頂點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊上.若準(zhǔn)矩形ABMN的一條對(duì)角線長(zhǎng)為5,直接寫出此時(shí)該準(zhǔn)矩形的面積
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】完成證明并寫出推理根據(jù):如圖,直線分別與直線、交于點(diǎn)和點(diǎn),,射線、分別與直線交于點(diǎn)、,且,則與有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
解:與的數(shù)量關(guān)系為 ① ,理由如下:
∵(已知)
∴ ② // ② ( ② )
∴ ③ ( ③ )
∵(已知)
∴ ④ ( ④ )
∵ ⑤
∴ ⑥ - ⑥
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y= x的圖象如圖所示,則方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根之和( )
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共10件,其生產(chǎn)成本和利潤(rùn)如下表.
A種產(chǎn)品 | B種產(chǎn)品 | |
成本(萬元/件) | 2 | 5 |
利潤(rùn)(萬元/件) | 1 | 3 |
(1)若工廠計(jì)劃獲利14萬元,問A,B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件?
(2)若工廠計(jì)劃投入資金不多于44萬元,且獲利多于14萬元,求工廠的最大利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名射擊選手中選出一名選手參加省級(jí)比賽,現(xiàn)對(duì)他們分別進(jìn)行5次射擊測(cè)試,成績(jī)分別為(單位:環(huán))甲:5、6、7、9、8;乙:8、4、8、6、9,
(1)甲運(yùn)動(dòng)員5次射擊成績(jī)的中位數(shù)為________環(huán),極差是________環(huán);乙運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的眾數(shù)為________環(huán).
(2)已知甲的5次成績(jī)的方差為2,通過計(jì)算,判斷甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員誰的成績(jī)更穩(wěn)定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩個(gè)等邊△ABC和△DEF(DE>AB)如圖所示擺放,點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)(除B、C點(diǎn)外).把△DEF繞頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使得邊DE、DF與△ABC的邊(除BC邊外)分別相交于點(diǎn)M、N.
(1)∠BMD和∠CDN相等嗎?
(2)畫出使∠BMD和∠CDN相等的所有情況的圖形.
(3)在(2)題中任選一種圖形說明∠BMD和∠CDN相等的理由.
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