如圖所示,同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn),且AC=CD,AB的弦心距等于CD的一半.則這兩個(gè)同心圓的大小圓的半徑之比( 。
分析:過(guò)O作OE⊥AB,交AB于點(diǎn)E,連接OA,OC,如圖所示,由垂徑定理得到E為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),又AB的弦心距等于CD的一半,即OE=CE=ED=
1
2
CD,可得出三角形COE為等腰直角三角形,設(shè)CE=OE=x,利用勾股定理表示出OC,再由AC=CD,表示出AC,由AC+CE表示出AE,在直角三角形AOE中,利用勾股定理表示出OA,即可求出兩半徑之比.
解答:解:過(guò)O作OE⊥AB,交AB于點(diǎn)E,連接OA,OC,如圖所示,
由垂徑定理得到E為AB的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),
又AB的弦心距等于CD的一半,即OE=CE=ED=
1
2
CD,
∴△OCE為等腰直角三角形,
設(shè)CE=OE=x,由勾股定理得到OC=
2
x,
由AC=CD=2CE,得到AC=2x,
則AE=AC+CE=2x+x=3x,
在Rt△AEO中,根據(jù)勾股定理得:OA=
AE2+OE2
=
10
x,
則這兩個(gè)同心圓的大小圓的半徑之比OA:OC=
10
x:
2
x=
5
:1.
故選D
點(diǎn)評(píng):此題考查了垂徑定理,勾股定理,以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
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如圖所示,同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C,D兩點(diǎn),試證明:AC=BD.

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A.3:1B.2:
10
C.10:
2
D.
5
:1
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