【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B兩點(diǎn),(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與直線AC交于點(diǎn)C(2,3),直線AC與拋物線的對稱軸l相交于點(diǎn)D,連接BD.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2,若點(diǎn)M、N同時從點(diǎn)D出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿DA、DB運(yùn)動,連接MN,將△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判斷四邊形DMD′N的形狀,并說明理由,當(dāng)運(yùn)動時間t為何值時,點(diǎn)D′恰好落在x軸上?
(3)在平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(異于A點(diǎn)),使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(全等除外)?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將點(diǎn)A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:

,

解得: ,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1,

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將A(﹣1,0)、C(2,3)代入y=kx+b,得:

解得: ,

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=x+1,

又∵點(diǎn)D是直線AC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn),

∴xD=1,yD=1+1=2,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2)


(2)

解:四邊形DMD′N是正方形,理由如下:

∵拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),

∴令y=0,得﹣x2+2x+3=0,

解得:x1=﹣1,x2=3,

∴A(﹣1,0)、B(3,0),

∴AD= =2 ,BD= =2 ,AB=1+3=4,

而AD2+BD2=AB2,

∴△ABD是等腰直角三角形,

∴∠DAB=∠DBA=45°,∠ADB=90°,

由翻折可知:D′M=DM、DN=ND′,

又∵DM=DN,

∴四邊形MDND′為菱形,

∵∠MDN=90°,

∴四邊形MDND′是正方形;

設(shè)DM=DN=t,當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)D′處時,

∵四邊形MDND′為正方形,

∴∠D′NB=90°,

在Rt△D′NB中,D′N=t,BN=2 ﹣t,BD′=2,

∴t2+(2 ﹣t)2=22,

∴t1=t2=

即:經(jīng)過 s時,點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處


(3)

解:存在,

如圖,

由(2)知△ABD為等腰直角三角形,

∵△PBD與△ABD相似,且不全等,

∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(2,3)


【解析】(1)先利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式,從而得出對稱軸與直線的交點(diǎn);(2)由拋物線解析式求得點(diǎn)A、B坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)可知△ABD為等腰直角三角形,即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°,由翻折性質(zhì)得D′M=DM、DN=ND′,從而得出四邊形MDND′為菱形,根據(jù)∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形;設(shè)DM=DN=t,在Rt△D′NB中D′N=t、BN=2 ﹣t、BD′=2,根據(jù)勾股定理即可得出t的值;(3)由△ABD為等腰直角三角形及△PBD與△ABD相似且不全等,知△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,結(jié)合圖形即可得答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+2bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),且與y軸正半軸交于點(diǎn)C,已知A(2,0)
(1)當(dāng)B(﹣4,0)時,求拋物線的解析式;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為P,當(dāng)tan∠OAP=3時,求此拋物線的解析式;
(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以A為圓心OA長為半徑畫⊙A,以C為圓心, OC長為半徑畫圓⊙C,當(dāng)⊙A與⊙C外切時,求此拋物線的解析式.

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(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求過點(diǎn)A和點(diǎn)E,且頂點(diǎn)在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

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②當(dāng)x=5時,y=45,求k的值.
(2)按國家規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型,假設(shè)某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否駕車去上班?請說明理由.

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