【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α<180),得到線段AD,連接BD,交AC于點P.
(1)當α=90時,
①依題意補全圖形;
②求證:PD=2PB;
(2)寫出一個α的值,使得PD=PB成立,并證明.
【答案】(1)①見解析;②見解析;(2)當α=60°(或120°)時,PD=PB,證明見解析
【解析】
(1)當α=90°時,①依題意即可補全圖形;
②根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊一半即可證明PD=2PB;
(2)當α的值為60(或120)度時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PD=PB成立.
(1)①如圖
②∵AC=AD,AB=AC
∴AB=AD,∠ABD=∠ADB
又∵∠BAC=30°,∠BAD=90°
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴AP=BP
在Rt△APD中,∠ADB=30°
∴PD=2AP
∴PD=2PB
(2)當α=60°(或120°)時,PD=PB
情況Ⅰ:當α=60°時,過點D作DF⊥AC,垂足為點F,過點B作BE⊥AC,垂足為點E,
∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中,∠BAC=30°
∴AC=2BE
在Rt△ADF中,∠CAD=60°
∴AD=DF
又∵AD=AC=AB
∴2BE=DE,即BE=DF
∴PB=PD
情況Ⅱ:當α=120°時,過點D作DF⊥AC,交CA的延長線于點F, 過點B作BE⊥AC,垂足為點E,
∴DF∥BE
∴△DFP∽△BEP
∴
在Rt△ABE中,∠BAC=30°
∴AC=2BE
在Rt△ADF中,∠FAD=60°
∴AD=DF
又∵AD=AC=AB
∴2BE=DE,即BE=DF
∴PB=PD
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,, ,...都是等腰直角三角形,其直角頂點,,,...均在直線上,設(shè),,,...的面積分別為,,,...,依據(jù)圖形所反映的規(guī)律,S2020=__________.
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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點)和格點O.
(1)平移ABC,使得點A與點O重合,畫出平移后的A′B′C′;
(2)畫出ABC關(guān)于點O對稱的DEF;
(3)判斷A′B′C′與DEF是否成中心對稱?
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【題目】如圖,拋物線與軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),直線與拋物線交于兩點,其中點的橫坐標為2.
(1)求A,B兩點的坐標及直線AC的表達式;
(2)P是線段AC上一動點(P與A,C不重合),過點P作軸的平行線交拋物線于點E,求面積的最大值;
(3)點H是拋物線上一動點,在軸上是否存在點F,使得四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在請直接寫出所有滿足條件的點F坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,PA,PB是⊙O的兩條切線,A,B是切點,AC是⊙O的直徑.
(1)若∠ACB=70°,求∠APB的度數(shù);
(2)連接OP,若AB=8,BC=6,求OP的長.
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【題目】如圖是某區(qū)1500名小學生和初中生的視力情況和他們每節(jié)課課間戶外活動平均時長的統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)圖1,計算該區(qū)1500名學生的近視率;
(2)根據(jù)圖2,從兩個不同的角度描述該區(qū)1500名學生各年級近視率的變化趨勢;
(3)根據(jù)圖1、圖2、圖3,描述該區(qū)1500名學生近視率和所在學段(小學、初中)、每節(jié)課課間戶外活動平均時長的關(guān)系.
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【題目】某中學九(1)班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況,采取全面調(diào)查的方法,從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調(diào)查了全班學生的興趣愛好,根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了4個興趣小組,并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖①,②,要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類),請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)九(1)班的學生人數(shù)為 ,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中m= ,n= ,表示“足球”的扇形的圓心角是 度;
(3)排球興趣小組4名學生中有3男1女,現(xiàn)在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊,請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率.
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【題目】如圖,單位長度為的網(wǎng)格坐標系中,一次函數(shù)與坐標軸交于、兩點,反比例函數(shù)經(jīng)過一次函數(shù)上一點.
(1)求反比例函數(shù)解析式,并用平滑曲線描繪出反比例函數(shù)圖像;
(2)依據(jù)圖像直接寫出當時不等式的解集;
(3)若反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點,在圖中用直尺與鉛筆畫出兩個矩形(不寫畫法),要求每個矩形均需滿足下列兩個條件:
①四個頂點均在格點上,且其中兩個頂點分別是點、點;
②矩形的面積等于的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在中,,點是的中點,連結(jié)并延長,與的延長線相交于點,連結(jié).若,,則四邊形的面積是_________.
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