Question

【題目】如圖，直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，點(diǎn)N是線段BC上的動點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段ND長度的最大值；
（3）若點(diǎn)H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸、y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點(diǎn)F，E的坐標(biāo)．
溫馨提示：在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
當(dāng)PQ平行x軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|x1﹣x2|求出；
當(dāng)PQ平行y軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|y1﹣y2|求出．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=5x+5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，

∴A（﹣1，0），C（0，5），

∵二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象過A，C兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：如圖1，

∵點(diǎn)B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，

∴由二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+4x+5得，點(diǎn)B的坐標(biāo)B（5，0），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，

∵直線BC過點(diǎn)B（5，0），C（0，5），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+5，

設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，

則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，﹣n2+4n+5），

則d=|﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）|，

由題意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，

∴d=﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n2+5n=﹣（n﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)n= 時，線段ND長度的最大值是

（3）

解：由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），

作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1，則點(diǎn)H1的坐標(biāo)為H1（﹣2，9），

作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM1，則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為M1（4，﹣5），

連結(jié)H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，

所以H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點(diǎn)F、E即為所求，

設(shè)直線H1M1解析式為y=k1x+b1，

直線H1M1過點(diǎn)M1（4，﹣5），H1（﹣2，9），

根據(jù)題意得方程組 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

∴點(diǎn)F，E的坐標(biāo)分別為（ ，0）（0， ）．

【解析】（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由二次函數(shù)的表達(dá)式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達(dá)式，設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，﹣n2+4n+5），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的最值計算可求線段ND長度的最大值；（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1 ， 可得點(diǎn)H1的坐標(biāo)，作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM1 ， 可得點(diǎn)M1的坐標(biāo)連結(jié)H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，可得H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H1M1解析式，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的最值，軸對稱﹣最短路線問題，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．