Question

【題目】正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，

（1）證明：Rt△ABM ∽R(shí)t△MCN；

（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大為10；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí).

【解析】

試題(1)、根據(jù)AM⊥MN得出∠CMN＋∠AMB= 90°，根據(jù)Rt△ABM得出∠CMN＝∠MAB，從而得出三角形相似；(2)、根據(jù)三角形相似得出CN與x的關(guān)系，然后根據(jù)梯形的面積計(jì)算法則得出函數(shù)解析式；(3)、根據(jù)要使三角形相似則需要滿足，結(jié)合(1)中的條件得出BM=CM，即M為BC的中點(diǎn).

試題解析：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B=∠C =90°，

∵AM⊥MN ∴∠AMN= 90°. ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°， ∴∠CMN＝∠MAB． ∴Rt△AMN∽R(shí)t△MCN;

(2)∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN， ∴∴∴CN=

∴y===

當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為10；故當(dāng)點(diǎn)肘運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為10；

(3)∵∠B＝∠AMN= 90°， ∴要使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，必須 有

由（1）知∴BM=MC

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，此時(shí)x=2