Question

是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），是以為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的平行線，分別交射線于點(diǎn)，連接．

（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
①求證：；
②探究：四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；
（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
①第（1）題中所求證和探究的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？（直接寫出，不必說(shuō)明理由）
②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形是菱形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）①見解析，②平行四邊形（2）①成立，②BC＝CD

解：（1） ① ∵ △ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴ AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵ ∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD
∴ ∠EAB=∠DAC,
∴ △AEB≌△ADC． ………………………………………………………（3分）
② 四邊形是平行四邊形.  ………………………………………（6分）
（2）（1）中的結(jié)論:
① △AEB≌△ADC，② 四邊形是平行四邊形，均成立. ……………………（8分）
（3）當(dāng)BC＝CD時(shí)，四邊形BCFE是菱形．……………………………………………（9分）
理由： 由①得△AEB≌△ADC，
∴BE＝BC
又∵ BE＝CD，
∴ BC＝CD．
由②得四邊形是平行四邊形，
∴ 四邊形是菱形． ……………………………………………（13分）
（1）①證明：因∠EAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝60度，所以∠EAB＝∠DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故△AEB≌△ADC．。②于是∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠DCA＋∠ABC＝120度。那么∠EBC＋∠BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE為一平行四邊形。    （2）BEGC仍為平行四邊形。與（1）類似，容易證明：ΔABE全等于ΔACD，那么∠ABE＝∠ACD＝120度，于是∠CBE＝∠ACB＝60度，進(jìn)而BE//GC，又BC//EG，從而得證。（3）欲使其成為菱形，只須BE＝BC，又BE＝CD，故只須選取D點(diǎn)使BC＝CD即可。